Question

（2011?鞍山）已知如图，D是△ABC中AB边上的中点，△ACE和△BCF分别是以AC、BC为斜边的等腰直角三角形，

（2011?鞍山）已知如图，D是△ABC中AB边上的中点，△ACE和△BCF分别是以AC、BC为斜边的等腰直角三角形，连接DE、DF．求证：DE=DF．

Answer 1

证明：分别取AC、BC中点M、N，连接MD、ND，再连接EM、FN，
∵D为AB中点，∠AEC=90°，∠BFC=90°，
∴EM=

1

2

AC，FN=

1

2

BC，
∵D是△ABC中AB边上的中点，
∴DN是△ABC的中位线．
∴DN=

1

2

AC，
∴EM=DN=

1

2

AC，FN=MD=

1

2

BC，
∵DN∥CM且DN=CM，
∴四边形MDNC为平行四边形，
∴∠CMD=∠CND．
∵∠EMC=∠FNC=90°，
∴∠EMC+∠CMD=∠FNC+∠CND，
即∠EMD=∠FND，
∴△EMD≌△DNF（SAS）．
∴DE=DF．