Question

抛物线y=ax 2 +bx+c（a＞0）的顶点为B（-1，m）（m≠0），并且经过点A（-3，0）．（1）求此抛物线的解析

抛物线y=ax 2 +bx+c（a＞0）的顶点为B（-1，m）（m≠0），并且经过点A（-3，0）．（1）求此抛物线的解析式（系数和常数项用含m的代数式表示）；（2）若由点A、原点O与抛物线上的一点P所构成的三角形是等腰直角三角形，求m的值．

Answer 1

（1）抛物线的顶点为B（-1，m）， 因此，对称轴是直线x=-1． 即- b 2a =-1 即有2a=b．①（1分） 又抛物线过点A（-3，0），B（-1，m），得 9a-3b+c=0，② a-b+c=m③（2分） 解由①、②、③所组成的方程组，得 a=- m 4 ，b=- m 2 ，c= 3 4 m ∴所求解析式为y=- m 4 x 2 - m 2 x+ 3 4 m （4分） （2）分两种情况讨论： ①PA是等腰直角三角形AOP的斜边， 此时OA=OP，又a＞0， ∴点P的坐标为（0，-3）． 将x=0，y=-3代入y=- m 4 x 2 - m 2 x+ 3 4 m 中， 得m=-4．（6分） ②OA是等腰直角三角形AOP的斜边． 此时PA=PO，则可求得P（- 3 2 ，- 3 2 ） 将x=- 3 2 ，y=- 3 2 代入y=- m 4 x 2 - m 2 x+ 3 4 m 中， 得m=- 8 5 ∴m的值为-4或- 8 5 （8分）