Question

已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，曲线y=f（x）在x=1处的切线为l：3x-y+1=0．（1）若x＝23时，函数f（x）有极

已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，曲线y=f（x）在x=1处的切线为l：3x-y+1=0．（1）若x＝23时，函数f（x）有极值，求函数f（x）的解析式；（2）若函数h(x)＝f(x)?a2x2+2(a?a2)x，求h（x）的单调递增区间（其中a∈R）．

Answer 1

（1）由f（x）=x³+ax²+bx+c，得f′（x）=3x²+2ax+b．
当x=1时，切线l的斜率为3，可得2a+b=0．  ①
当x=

2

3

时，y=f（x）有极值，则f′（

2

3

）=0，可得4a+3b+4=0．  ②
由①、②解得a=2，b=-4．
由于l上的切点的横坐标为x=1，∴f（1）=4，∴1+a+b+c=4，∴c=5．
∴f（x）=x³+2x²-4x+5．   …（6分）
（2）由（1）得

2a+b＝0 1+a+b+c＝4

，∴

b＝?2a c＝a+3

，
∴h(x)＝x3+

a

2

x2?2a2x+a+3．
则h′（x）=3x²+ax-2a²=（x+a）（3x-2a）．
①当a=0时，h′（x）≥0恒成立，∴h（x）在R上单调递增；
②当a＞0时，令h′（x）＞0，解得x＜-a或x＞

2

3

a，∴h（x）的单调递增区间是（-∞，-a）和(

2

3

a，+∞)；
③当a＜0时，令h′（x）＞0，解得x＜

2

3

a或x＞-a，∴h（x）的单调递增区间是(?∞，

2

3

a)和（-a，+∞）． …（12分）