Question

已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，曲线y=f（x）在点x=1处的切线l不过第四象限且斜率为3，又坐标原点到切线l的

已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，曲线y=f（x）在点x=1处的切线l不过第四象限且斜率为3，又坐标原点到切线l的距离为1010，若x=23时，y=f（x）有极值．（1）求a，b，c的值；（2）求y=f（x）在[-3，1]上的最大值和最小值．

Answer 1

（1）由f（x）=x³+ax²+bx+c，得f′（x）=3x²+2ax+b，
当x=1时，切线l的斜率为3，可得2a+b=0．①
当x=

2

3

时，y=f（x）有极值，则f′（

2

3

）=0，即4a+3b+4=0②
联立①②解得a=2，b=-4．
设切线l的方程为y=3x+m，
由原点到切线l的距离为

10

10

，
则=

|m|

32+1

=

10

10

解得m=±1．
∵切线l不过第四象限，∴m=1，
由于切点的横坐标为x=1，∴f（1）=4，
∴1+a+b+c=4，∴c=5．
故a=2，b=-4，c=5．
（2）由（1）可得f（x）=x³+2x²-4x+5，
∴f′（x）=3x²+4x-4．
令f′（x）=0，得x=-2，x=

2

3

．
当x变化时，f（x）和f′（x）的变化情况如下表：

x	[-3，-2）	-2	（-2， 2 3 ）	2 3	（ 2 3 ，1]
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	??↑	极大值	??↓	极小值	?↑?

∴f（x）在x=-2处取得极大值f（-2）=13，
在x=

2

3

处取得极小值f（

2

3

）=

95

27

．
又f（-3）=8，f（1）=4，
∴f（x）在[-3，1]上的最大值为13，最小值为

95

27

．