Question

如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在原点，边AC在x轴的正半轴，AC=16，∠BAC=60°，AB=10，⊙P分别

如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在原点，边AC在x轴的正半轴，AC=16，∠BAC=60°，AB=10，⊙P分别与边AB、AC相切于D、E（切点D、E不在边AB、AC的端点），ED的延长线与CB的延长线相交于点F．（1）求BC边的长和△ABC的面积；（2）设AE=x，DF=y，写出y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）探索△ADC与△DBF能否相似？若能相似，请求出x的值，同时判断此时⊙P与边BC的位置关系，并证明之；若不能相似，请说明理由；（4）当⊙P与△ABC内切时，⊙P与边BC相切于G点，请写出切点D、E、G的坐标（不必写出计算过程）．

Answer 1

解答：解：（1）过B作BG⊥x轴，垂足为G，
在Rt△ABG中∠BAC=60°，AB=10，得到AG=5，
由勾股定理可得BG=5

3

，由于AC=16，可得GC=11，在Rt△BGC中由勾股定理可得BC=14，
（或B（5，5

3

）、C（16，0）由距离公式得BC=14）（1分）
∴S_△ABC=

1

2

AC?BG=40

3

（1分）

（2）在△ABC中，∵⊙P分别与边AB、AC相切于D、E，∴AE=AD，
又∠BAC=60°，可设AE=AD=DE=x，DB=10-x，CE=16-x（1分）
过E作EH∥AB交BC于H，在△ABC中，∵EH∥AB
∴

EH

AB

＝

CE

CA

即

EH

10

＝

16?x

16

，得EH=

5

8

(16?x)（1分）
在△FEH中，∵EH∥DB∴

FD

FE

＝

DB

EH

即

y

x+y

＝

10?x

5 8 (16?x)

（1分）
整理得y=-

8

3

x+

80

3

（0＜x＜10）（2分）

（3）假如△ADC与△DBF相似，∵∠DBF＞∠DCA，又∠DAC=∠BDF=60°
∴只能∠DBF与∠ADC，∠BFD与∠ACD是对应角（1分）
∴

AD

BD

＝

AC

DF

，

x

10?x

=

16

y

，解得x₁=10（舍去），x₂=6（1分）
当x=6时，⊙P与边BC相切．
证明：当x=6时，求得⊙P的半径r=2

3

，
过P作PQ⊥BC，垂足为Q，连接PA、PB、PC，有S_△ABC=S_△PAB+S_△PAC+S_△PBC
即40

3

＝

1

2

?10?2

3

+

1

2

?16?2

3

+

1

2

?14?PQ，解得，PQ=2

3

=r
∴⊙P与边BC相切．（2分）

（4）D（3，3

3

），E（6，0），G（

57

7

，

25 3

7

）．（3分）