Question

已知正项数列{an}的前n项和为Sn，Sn是14与(an+1)2的等比中项．（Ⅰ）求证：数列{an}是等差数列；（Ⅱ）若

已知正项数列{an}的前n项和为Sn，Sn是14与(an+1)2的等比中项．（Ⅰ）求证：数列{an}是等差数列；（Ⅱ）若b1=a1，且bn=2bn-1+3，求数列{bn}的通项公式；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若cn=anbn+3，求数列{cn}的前n项和Tn．

Answer 1

解答：（Ⅰ）证明：∵

Sn

是

1

4

与(an+1)2的等比中项，
∴Sn=

1

4

(an+1)2
当n=1时，a1=

1

4

(a1+1)2，∴a₁=1，
当n≥2时，Sn-1=

1

4

(an-1+1)2
a_n=S_n-S_n-1=

1

4

(an2-an-12+2an-2an-1)=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0
∵数列各项为正
∴a_n-a_n-1=2
∴数列{a_n}是以1为首项，公差为2的等差数列
∴a_n=2n-1；
（Ⅱ）解：∵b_n=2b_n-1+3，∴b_n+3=2（b_n-1+3），
∴数列{b_n+3}是公比为2的等比数列
∵b₁=a₁=1，
∴b₁+3=4，∴b_n+3=2ⁿ⁺¹
∴b_n=2ⁿ⁺¹-3；
（Ⅲ）解：在（Ⅱ）的条件下，cn=

an

bn+3

=

2n-1

2n+1

，
∴T_n=

1

22

+

3

23

+…+

2n-1

2n+1

∴

1

2

T_n=

1

23

+

3

24

+…+

2n-1

2n+2

两式相减可得

1

2

T_n=

1

22

+

2

23

+…+

2

2n+1

-

2n-1

2n+2

=

3

4

-

2n+3

2n+2

∴T_n=

3

2

-

2n+3

2n+1

．