如图，底面为正方形的四棱锥S-ABCD 中，P为侧棱SD上的点且SD⊥平面PAC，每条侧棱的长都是底面边长的2倍．
如图，底面为正方形的四棱锥S-ABCD中，P为侧棱SD上的点且SD⊥平面PAC，每条侧棱的长都是底面边长的2倍．（1）求二面角P-AC-D的大小．（2）在侧棱SC上是否存...
如图，底面为正方形的四棱锥S-ABCD 中，P为侧棱SD上的点且SD⊥平面PAC，每条侧棱的长都是底面边长的2倍．（1）求二面角P-AC-D的大小．（2）在侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC．若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由．
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解答：
解法一：
（1）连BD，设AC交BD于O，由题意SO⊥AC．在正方形ABCD中，AC⊥BD，所以AC⊥平面SBD，得AC⊥SD．
设正方形边长a，则SD=
a．
又OD=
a，所以∠SOD=60°，
连OP，知AC⊥平面SBD，所以AC⊥OP，
且AC⊥OD，所以∠POD是二面角P-AC-D的平面角．
由SD⊥平面PAC，知SD⊥OP，所以∠POD=30°，
即二面角P-AC-D的大小为300．
（2）在棱SC上存在一点E，使BE∥平面PAC
由（1）可得PD=
a，故可在SP上取一点N，使PN=PD，过N作PC的平行线与SC的交点即为E．连BN．
在△BDN中知BN∥PO，又由于NE∥PC，故平面BEN∥平面PAC，得BE∥平面PAC，由于SN：NP=2：1，故SE：EC=2：1．
解析二（1）连BD，设AC交于BD于O，由题意知SO⊥平面ABCD．
以O为坐标原点，
，
，
分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立坐标系O-xyz如图．
…1分
设底面边长为a，则高SO=
a．
于是 S(0，0，
a)，D(-
a，0，0)，C(0，
a，0)w，B(
a，0，0)
=(0，
a，0)
=(-
a，0，-
a)…3分
由题设知，平面PAC的一个法向量
=(
a，0，
a)，平面DAC的一个法向量
=(0，0，
a)，
设所求二面角为θ，则cosθ=
=
，θ∈[0，π]
∴θ=
故所求二面角的大小为
…7分
（2）在棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC．
由（1）知
是平面PAC的一个法向量，
且
=(
a，0，
a)，
=(0，-
a，
解法一：（1）连BD，设AC交BD于O，由题意SO⊥AC．在正方形ABCD中，AC⊥BD，所以AC⊥平面SBD，得AC⊥SD．
设正方形边长a，则SD=
| 2 |
又OD=
| ||
| 2 |
连OP，知AC⊥平面SBD，所以AC⊥OP，
且AC⊥OD，所以∠POD是二面角P-AC-D的平面角．
由SD⊥平面PAC，知SD⊥OP，所以∠POD=30°，
即二面角P-AC-D的大小为300．
（2）在棱SC上存在一点E，使BE∥平面PAC
由（1）可得PD=
| ||
| 4 |
在△BDN中知BN∥PO，又由于NE∥PC，故平面BEN∥平面PAC，得BE∥平面PAC，由于SN：NP=2：1，故SE：EC=2：1．
解析二（1）连BD，设AC交于BD于O，由题意知SO⊥平面ABCD．
以O为坐标原点，
. |
| OB |
. |
| OC |
. |
| OS |
…1分
设底面边长为a，则高SO=
| ||
| 2 |
于是 S(0，0，
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
. |
| OC |
| ||
| 2 |
. |
| SD |
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
由题设知，平面PAC的一个法向量
. |
| DS |
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| 2 |
| ||
| 2 |
. |
| OS |
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| 2 |
设所求二面角为θ，则cosθ=
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|
| ||
| 2 |
∴θ=
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
（2）在棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC．
由（1）知
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| DS |
且
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| DS |
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| 2 |
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| 2 |
. |
| CS |
| ||
| 2 |
