Question

如图,四棱锥s-abcd的底面是正方形,每条侧棱的长都是地面边长的根号2倍，p为侧棱SD上的点

如图,四棱锥s-abcd的底面是正方形,每条侧棱的长都是地面边长的根号2倍，p为侧棱SD上的点
（1）求证：AC⊥SD
（2）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小
（3）若在（2）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE//平面PAC。若存在，求SE：EC的值。若不存在，是说明理由

Answer 1

1.
设AB=BC=CD=DA=a
连AC、BD，交于O，
不难知道BD=√2a
∴△SBD为正△
∴∠SDB=∠DSB=π/3
又
∵SD⊥面PAC
∴△POD为RT△，其中∠POD=π/2
∴∠P0D=π/2-π/3=π/6

2.
在△SBD中作BF⊥SD，垂足为F，
在面SCD中作FE‖PC，交SC于E，E为所求，
∵BF⊥SD，OP⊥SD
∴BF‖OP
又
∵FE‖PC
∴面BFE‖面PAC
∴BE‖面PAC。

∵ABCD为正方形
∴OD=√2a/2
在RT△POD中∠P0D=π/6，
∴PD=OD/2=√2a/4，PO=√6a/4，
在RT△PDC中，BC^2=DC^2-PD^2=a^-a^2/8=7a^2/8,
即BC=√14a/4,
在RT△DFB中，DP/DF=PO/FB=DO/DB=1/2
∴DF=2DP=√2a/2
∵在RT△SBF中，∠DSB=π/3
∴SF=SB/2=√2a/2
∴在RT△SPC中，
SF/SP=SE/SC=SE/(√2a)
=(√2a/2)/(√2a-√2a/4)
=2/3
SE/SC=2/3
SE=(2/3)SC=(2/3)√2a=(2√2/3)a

Answer 2

日前，山东临沂苍山县城市花园居民区的一幢居民楼发生火灾，一名十岁男孩被困火场几乎丧命，幸好在最后关头被人及时救出，而施救者竟是当地的一位亿万富豪。

记者赶到事故发生地时，在现场仍然可以看到楼内防盗网上一片烟熏的痕迹，从2楼到4楼的楼道都被熏黑，除了刺鼻的气味，仍然还可以感觉到扑而来的热浪。引起火灾的主屋内一片狼籍,mbt donne，家俱全被烧毁，天花板、墙面装饰无一完好。房内还有一个煤气罐也被烧得乌黑，所幸没有爆炸。

现场目击者称,mbt sini，火灾是由一个二楼住家的孩子玩打火机不慎引燃窗帘引起的。此家女主人在带着孩子逃生的过程中没有关闭房门导致火势失控，最终蔓延到三个楼层。救火时有人发现，在4楼窗户边还有一个小男孩，面对浓烟和大火不停哭喊。在场群众当即组织施救，但由于火势过大，先后有数人将衣服浇湿试图冲上去救人，都被大火和浓烟逼回。眼看情势危急，一名青年在第一次突破火线未果后，用地上丢弃的旧衣物掩住口鼻，再次冲入楼道并救起被困的孩子，最终和随他冲入火场的几名群众一起安全返回。随即消防官兵赶到，半个多小时后，大火终于被扑灭。

记者找到了被救的男孩。这名男孩叫李宏超，今年只有十岁。据李宏超自己描述，当时只有他一人在家，看到浓烟顺着窗户往屋内涌时，他吓坏了，打开门发现楼道都是烟，怕得直哭。后来看到一个叔叔冲上来，抱着他就往下跑。李宏超的亲戚杨某对记者说：“宏超是来我家走亲戚的，万一有个三长两短，真没法给他父母交待了。我们一定要去好好感谢一下大恩人！”

记者陪同一家人找到了救人的青年。在采访中记者得知，带头冲进火海救人的这名青年名叫刘云峰，是当地一家名为东方佳园的房地产公司的董事长，身家过亿，还是当地的人大代表和政协常委。

面对记者，刘云峰表现淡然：“当时根本没有时间想什么，只有一个念头：抓紧救人，大火已经烧到四楼，再晚一会孩子就会有生命危险。”

“当时有很多手下的员工在旁边，为什么不叫他们去救？”

“因为在这之前的几分钟，他们已经分几批冲了好几次，都没能冲上去。都是父母生父母养的孩子,donne mbt sandali，在生命面前人人平等，我不能命令他们再去冒生命危险，当时我只有一个信念，就是，我一定要救他,mbt tembea。”

刘云峰算是当地的名人，紧跟着他冲入火海、参与救人的个体老板王兴伟回忆说：“当时看那情况，确实没有敢再上的了，想上去的试过后也不敢再上了，但我看到刘总依然奋不顾身冲上去，他都上亿资产了，都不怕死，我还怕什么，也就跟着冲上去了。”

但是这位身价过亿的房地产老板对自己的英勇事迹却十分低调，记者提出的进一步的采访要求也被他婉言谢绝：“我只是在做一个人的本分，没有什么太多可说的。”

来源：山东新闻网

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Answer 3

9月27日，喻光后在整理国旗，为升旗作准备。 本报记者 杨新宇 摄

巴南鱼洞巴县大道96号1单元四楼的露台上，总有一面鲜艳的国旗迎风招展，成为这段千余米的大道上，人们注目的风景。这面国旗，是谁坚持每天照管、呵护？

原来，77岁的喻光后老人，3年前开始，每天在自家露台上进行一个人的“升旗仪式”。

5点多钟起床升国旗

昨天5点多钟，喻光后起床穿衣、洗漱后，来到客厅，将门窗一一关闭,mbt uomini。然后，老人整整头发和衣服，来到钢琴前坐下，开始弹奏国歌。

老人奏完国歌，来到露台处高约5米的银色旗杆下，细心地将国旗铺展开来，在空中挥舞了几下，然后双手拉住绳索，开始缓缓拉动。

一面鲜艳的国旗,uomini mbt sandali，从露台上冉冉升起，老人站在国旗下，注视着国旗迎风飞扬。这样一个人的升旗仪式，老人已坚持三年多。为了不打扰邻居休息，老人每天奏国歌时，刻意紧闭门窗。

升国旗感恩祖国

“我经常在楼下看自己升起的国旗，看它飘呀飘，心里别提多高兴。”喻光后说，他是巴南区司法局退休干部，退休后，他亲身感受到了各种政策对老同志的关心。

“老人坐车不要钱，逛公园不要钱，乘轻轨不要钱，你说我们的日子幸福不幸福？另外，农民不交粮，小孩子读书不要钱，国家强盛了，特别是去年举行的奥运会，更是让中国人扬眉吐气呀！”说起近几年的变化，老人抑制不住笑意。老人说，日子过好了，他迫切希望用某种方式表达对祖国的感恩之情，最终选择了在露台上升国旗。

老人不仅坚持升国旗，还在客厅悬挂了一面国旗。“他在家看节目，都要不时挥动国旗，他说要在家里升国旗时，我们都理解他，支持他。”儿子喻石说，他和弟弟帮父亲买回了国旗，制作了用于升旗的竹竿和固定旗杆的铁圈。3年来，喻光后用坏了8根竹竿，换了3面国旗。新中国成立60周年前夕,mbt tembea，他又赶紧换上专业旗杆。

邻居感到很自豪

邻居们说，每天看着国旗在喻光后家的露台上飘扬，大家觉得非常自豪，向别人介绍自己家,mbt donne，都说：“就在巴县大道上飘着国旗的那一栋。”

邻居周医生说，喻爷爷坚持天天升国旗，邻居都支持他。喻光后说，国庆节期间，他打算给单元楼里每一户邻居都送上一面小小的国旗，号召邻居们都把国旗挂在阳台上，和整栋楼的邻居们一起为国庆添彩。

记者离开老人家时，意外发现，受喻光后的影响，巴县大道96号楼栋许多家庭陆续在阳台上挂上了国旗。

本报记者 刘琳

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Answer 4

：（Ⅰ）连BD，设AC交BD于O，由题意SO⊥AC．
在正方形ABCD中，AC⊥BD，所以AC⊥平面SBD，得AC⊥SD．
（Ⅱ）设正方形边长a，则 ．
又 ，所以∠SDO=60°，
连OP，由（Ⅰ）知AC⊥平面SBD，
所以AC⊥OP，w且AC⊥OD，所以∠POD
是二面角P-AC-D的平面角．
由SD⊥平面PAC，知SD⊥OP，
所以∠POD=30°，
即二面角P-AC-D的大小为300．