Question

如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的 2 倍，P为侧棱SD上的点．

如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的 2 倍，P为侧棱SD上的点．（Ⅰ）求证：AC⊥SD；（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE ∥ 平面PAC．若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）连BD，设AC交BD于O，由题意SO⊥AC， 在正方形ABCD中，AC⊥BD， 所以AC⊥面SBD， 所以AC⊥SD． （Ⅱ）若SD⊥平面PAC，设正方形ABCD的边长为a， 则SD= 2 a ，OD= 2 2 a ，可得PD= 2 4 a ， 故可在SP上取一点N，使PN=PD， 过N作PC的平行线与SC的交点即为E，连BN． 在△BDN中知BN ∥ PO， 又由于NE ∥ PC，故平面BEN ∥ 面PAC， 得BE ∥ 面PAC， 由于SN：NP=2：1， 故SE：EC=2：1．