Question

如图，已知椭圆C:x²／a²﹢y²／b²＝1(a＞b＞0)的离心率为√3／2，以椭圆C的左顶点

如图，已知椭圆C:x²／a²﹢y²／b²＝1(a＞b＞0)的离心率为√3／2，以椭圆C的左顶点T为圆心做圆T：（x+2）²﹢y²=r²(r＞0),设椭圆C交于点M与点N。
⑴求椭圆C的方程。 x²／4﹢y²=1
⑵求向量TM乘向量TN的最小值，并求此时圆T的方程;
为什么不能联立圆和椭圆的方程求出M,N点横坐标，带入椭圆方程算出纵坐标？求出的点不再椭圆上。要是能求出来就是定值，没有最小值。答案上是设的M,N点坐标（x₁,y₁）（x₁,﹣y₁）算向量乘积，再把y₁²用椭圆方程表示的。

Answer 1

由对称性设M(x1,y1) N(x1,-y1)
所以TM*TN=(x1+2,y1)*(x1+2,-y1)=(x1+2)^2-y1^2=(x1+2)^2-1+x^2/4
=5/4x1^2+4x1+3=5/4(x1^2+16/5x1)+3=5/4(x1+8/5)^2-1/5
-2<=x1<=2，所以x1=-8/5时，取得最小值
所以y1=3/5
代入圆的方程可以知道：r=√13/5

你的思路很好，联立椭圆方程和圆的方程，消去y：
(x+2)^2+(1-x^2/4)=r^2
3x^2+16x+4(5-r^2)=0
这里r是未知数，求不出x的具体值，所以TM*TN不是定值

也不要认为这里求出来的x的两个根就是是M、N的横坐标
而是其中一个根是M、N的横坐标，其中一个根是另外两个交点的根
在这个图上面发现只有两个交点是因为，求出来的两外一个根x2，代入到椭圆方程时，y没有解
例如上述求出的r=√13/5
代入3x^2+16x+4(5-r^2)=0，就是3x^2+16x+448/25=0
x1=-8/5 x2=-56/15<-2所以x2对应的点不在椭圆上，是增根

所以最好不要用二次或已上的方程联立求交点，因为不知道一个x（y）对应多少个不同的点，而且解出来的根还要验证是不是增根

当然已上说的和这题没什么关系，主要是联立求不出来x的值

追问

联立之后得到3／4x²﹢4x﹢5﹣r²＝0,2x₁＝﹣b／a＝﹣16／3但是x＝﹣8／3不在椭圆上。

追答

我在上面说了，不知道你看清楚了没

不要认为这里求出来的x的两个根就是是M、N的横坐标
所以不能用2x=-16/3来求x
而是其中一个根是M、N的横坐标，其中一个根是另外两个交点的根

根据方程3／4x²﹢4x﹢5﹣r²＝0，求出的两个x，每个x代回到椭圆方程，都可以对应0或1或2个y值。

Answer 2

联立求坐标在解析几何中不是不能用，而是很少使用，因为运算量大，易出错。
通常是按答案给出的那样，设点的坐标，表示出所求的量（本题中是两个向量的数量积），
然后再利用已知条件（就是坐标满足的等式）化简。

Answer 3

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Answer 4

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