Question

高中数学题求解。

1.是否存在实数a，使函数f（x)=x^2-2ax+a的定义域为[-2,2]，若存在，求a的值，若不存在请说明理由。

2.函数y=log1/2（x^2-5x+6)的单调增区间为？

3.设函数f(x)=-x^2+2ax+m,g(x)=a/x
(1)若函数f(x),g(x)在[1,2]上都是减函数，求实数a的取值范围；
（2）当a=1时，设函数h(x)=f(x)g(x),若h(x)在（0，+∞）内有最大值为-4，求实数m的值。

希望有答案详解……谢谢。

Answer 1

1.是否存在实数a，使函数f(x)=x²-2ax+a的定义域为[-1，1]，值域为[-2，2]；若存在，求a的值，若不存在请说明理由。
解：令f(-1)=1+2a+a=1+3a=-2，得a=-1；再令f(1)=1-2a+a=1-a=2，得a=-1；
故可取a=-1，此时f(x)=x²+2x-1=(x+1)²-2；f(-1)=-2；f(1)=4-2=2；f(0)=-1；满足要求。
2.函数y=log‹1/2›(x²-5x+6)的单调增区间为？
解：设y=log‹1/2›u，u=x²-5x+6；
由u=x²-5x+6=(x-2)(x-3)>0，得y的定义域为x<2或x>3.
当x<2时u单调减；当x>3时u单调增；由于y是关于u的减函数，按“同增异减”原理，可知y的单调增区间为(-∞，2).
3.设函数f(x)=-x²+2ax+m,g(x)=a/x；(1)若函数f(x),g(x)在[1,2]上都是减函数，求实数a的取值范围；(2）当a=1时，设函数h(x)=f(x)g(x),若h(x)在（0，+∞）内有最大值为-4，求实数m的值。
解：(1).由于f(x)在[1，2]上是减函数，故不等式f′(x)=-2x+2a≦0在[1，2]上应该成立，故a≦1；
又由于g(x)=a/x在[1，2]上也是减函数，故必有a>0；0<a≦1是a的取值范围。
(2). 当a=1时，h(x)=(-x²+2x+m)(1/x)=-x+2+(m/x)；令h′(x)=-1-m/x²=0，得x²=-m，x=±√(-m)；
因为要求在(0，+∞）内有最大值-4，故应取极小点x=√(-m)；(m<0)；
由h[√(-m)]=[m+2√(-m)+m][1/√(-m)]=[2m+2√(-m)]/√(-m)=-2√(-m)+2=-4，2√(-m)=6，√(-m)=3，
故得-m=9，即m=-9.

追问

呃……【令h′(x)=-1-m/x²=0，】这一步是怎么得出来的……表示这里不懂，唉，迟钝啊。

追答

因为h(x)在（0，+∞）内有最大值为-4，因此要令h′(x)=0求其极大点(正文倒数第三行：故应取极小点x=√(-m)；(m<0)；我写错了，应改为：故应取极大点x=√(-m)；(m<0)；

追问

恩恩，这个【h′(x)=0求其极大点】我懂，只是不知道里面的那个【-1-m/x²】是怎么算下来的……我算不下来……TAT

追答

h(x)=-x+2+(m/x)；h′(x)=(-x)′+2′+(m/x)′=-1+0+(xm′-mx′)/x²=-1+(0-m)/x²=-1-m/x²

Answer 2

1、对于此类问题，我们事先无法确定其是否存在，所以最还先假设它存在，如果我们按既定的假设求出了符合条件的解则说明我们的假设是对的即它确实存在！
假设存在这样的a,由已知：函数f（x)=x^2-2ax+a=﹙x－a﹚²－a²＋a的对称轴x=a又该抛物线开口向上∴①若a≤-1,则函数f(x)x∈[-1,1]单调增∴f(x)min=f(-1)1+2a+a=-2,a=-1; f(x)max=f(1)=1-2a+a=2,a=-1∴a=-1即存在这样的a.②若-1<a≤1,此时在其对称轴x=a处取得最小值f(a)min=-a²＋a=-2,最大值在x=-1或x=1处比较一下哪个大些即保留哪个，而f(a)min=-a²＋a=-2的解a=2或a=-1不符合条件！∴此种假设不存在！③若1<a,对于x∈[-1,1]单调减∴∴f(x)max=f(-1)=1+2a+a=2,a=-1与a>1不符！
总上，存在这样的a=-1.
2、由已知：对数函数的真数应大于0，∴x²-5x+6＞0.…①又y=㏒1/2 A为减函数，根据“同增异减”（即内层和外层函数的增减性相同时，整个复合函数为增函数！反之，为复合函数减函数）。且x²-5x+6的开口向上，对称轴x=5/2其单调减区间为﹙－∞，5/2﹚且由①知x<2或x>3∴二者取交集∴x∈﹙－∞,2﹚
3、(1)对于g(x)=a/x,a>0 ,对于f(x)=－x²＋2ax＋m＝－﹙x－a﹚²+a²＋m该抛物线开口向上∵函数f(x)在[1,2]上是减函数∴对称轴x=a>2且a>0∴实数a的取值范围﹙2,＋∞﹚
(2)由已知：h(x)=－x+2+m/x ,∴h＇(x)=－1－m/x²应有h＇(x)≤0且在x∈﹙0,＋∞﹚一定存在极大值点∴令h＇(x)=－1－m/x²=0,∴x=－√(－m)代入函数h(x)=－x+2+m/x =－4∴m(m+9)=0∴m=－9或m=0(舍去，因m=0不存在最大值）鐧惧害鍦板浘

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Answer 3

你确定题目没问题？第一题是是什么意思，定义域不是R？

追问

抱歉抱歉……我打错了……

题是这样的……

是否存在实数a,使函数f(x)=x^2-2ax+a的定义域为[-1,1]值域为[-2,2]?若存在 求a的值，若不存在说明理由

追答

1，定义域为【-1,1】，最小值在对称轴上，也即x=a，-1=2，对于g(x),a>0,综合a>=2
(2).a=1时，设函数h(x)=f(x)g(x)=(x^2+2x+m)/x=x+2+m/x
h(x)在（0，+∞）内有最大值为-4，T(x)=x+m/x最大值是-6.。。。。。。是最大值？？？？