Question

函数z=xy^2在点（1，1，1）处，沿该点梯度方向的方向导数为？

Answer 1

令F(x,y,z)=xy²-z

Fx=y²

Fy=2xy

Fz=-1

梯度=（1,2，-1）

方向余弦=1/√6(1,2,-1)

所以

方向导数=1/√6+2×2/√6+1/√6=√6

扩展资料

p0到p1的方向为(6,5)-(3,1)=(3,4)

而f(x,y)对x求偏导=3x²-6yx+3y²，

P0处的关于x偏导=27-18+3=12

而f(x,y)对y求偏导=-3x²+6xy

P0处的关于y偏导=-27+18=-9

所以该方向的方向导数为12*3+(-9)*4=36-36=0

本质上就是一元函数z=f(x,y0)的导数，反映曲面上的一条平面曲线：z=f(x,y)，y=y0,在点(x0.y0)这点沿着x由小到大的方向变化时，z=f(x,y0)的变化快慢。

Answer 2

令F(x,y,z)=xy²-z
Fx=y²
Fy=2xy
Fz=-1
梯度=（1,2，-1）
方向余弦=1/√6(1,2,-1)
所以
方向导数=1/√6+2×2/√6+1/√6=√6