Question

如图，在△ABC中，AB=AC=5cm，BC=8，点P为BC边上一动点（不与点B、C重合），过点P作射线PM交AC于点M.....

如图，在△ABC中，AB=AC=5cm，BC=8，点P为BC边上一动点（不与点B、C重合），过点P作射线PM交AC于点M，使∠APM=∠B：
（1）求证：△ABP∽△PCM
（2）设BP=x，CM=y，求y与x的函数解析式 ，并写出函数的定义域
（3)当△APM为等腰三角形时，求PB的长。

Answer 1

证明：(1)
∵AB=AC，∴∠B=∠C，
∵∠APM=∠B，∴∠APM=∠B=∠C，
∵∠CMP=∠PAM+∠APM，∠BPA=∠PAM+∠C，
∴∠BPA=∠CMP，∴△ABP∽△PCM；

解：(2)
∵△ABP∽△PCM
∴AB:PC=PB:CM，即：5：(8-x)=x:y,
y=(8/5)x-(1/5)x²
0<x<8
解：（3）
作AN⊥BC,交BC于N，则BN=1/2BC=4
CosB=4/5
Cos60°=1/2
∴CosB>Cos60°
∴∠B<60°
∵∠APM=∠B
∴∠APM<60°
∴要使△APM为等腰三角形
只能AP=MP
∵△ABP∽△PCM
∴AP:PM=AB:PC，
即：AP：PM=5:PC
∵AP=MP
∴1:1=5:PC
PC=5
PB=8-5=3

Answer 2

证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠APM=∠B，
∴∠APM=∠B=∠C，
∵∠CMP=∠PAM+∠APM，∠BPA=∠PAM+∠C，
∴∠BPA=∠CMP，
∴△ABP∽△PCM；

Answer 3

(1)∠APM=∠B=∠C
∠PMC=180-∠C-∠CPM=180-∠APM-∠CPM=∠APB
所以：△ABP∽△PCM
(2)△ABP∽△PCM所以AB:BP=PC:CM，即：5：x=(8-x):y,
y=1/5x(8-x)