Question

已知二次函数y=x 2 +ax+a-2.（1）求证：不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点. （2）设a＜0，当此

已知二次函数y=x 2 +ax+a-2.（1）求证：不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点. （2）设a＜0，当此函数图象与x轴的两个交点A、B的距离为 时，求出此二次函数的解析式. （3）若（2）中的条件不变，在函数图象上是否存在点P，使得△PAB的面积为 ，若存在求出P点坐标，若不存在请说明理由.

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Answer 1

（1）因为△=a 2 -4(a-2)=(a-2) 2 +4＞0，所以不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点. （2）设x 1 、x 2 是x 2 +ax+a-2=0的两个根，由韦达定理得， x 1 +x 2 =-a，x 1 x 2 =a-2， 因两交点的距离是AB= ，所以 = = . 即(x 1 -x 2 ) 2 =13， 即(x 1 -x 2 ) 2 =13， 变形为(x 1 +x 2 ) 2 -4x 1 x 2 =13，所以(-a) 2 -4(a-2)=13 整理，得a 2 -4a-5=0，解得a 1 =5，或a 2 =-1. 又因为a＜0，所以a=-1， 所以此二次函数的解析式为y=x 2 -x-3. （3）设点P的坐标为(x 0 ，y 0 )，因为AB= 所以 所以 =3，则y 0 =±3. 当y 0 =3时，x 0 2 -x 0 -3=3，解得x 0 =-2，或3； 当y 0 =-3时，x 0 2 -x 0 -3=-3，解得x 0 =0，或1. 综上所述， P点坐标是(-2，3)，(3，3)，(0，-3)或(1，-3).