Question

如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=6，∠ABC=60°；点P是射线AD上的一个动点（与 点A不重合），BP与AC

如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=6，∠ABC=60°；点P是射线AD上的一个动点（与 点A不重合），BP与AC相交于点E，设AP=x．（1）求AC的长；（2）如果△ABP和△BCE相似，请求出x的值；（3）当△ABE是等腰三角形时，求x的值．

Answer 1

（1）过点A作AF⊥BC于F（1分） 在Rt△AFB中，∠AFB=90°，∠ABF=60° ∴AF=ABsin∠ABF=4sin60°=4× 3 2 = 2 3 ， BF=ABcos∠ABF=4cos60°=4× 1 2 =2 在Rt△AFC中，∠AFC=90° ∴ AC= A F 2 +F C 2 = (2 3 ) 2 + 4 2 =2 7 （1分） （2）过点P作PG⊥BC于G，在Rt△BPG中，∠PGB=90°， ∴ BP= B G 2 +P G 2 = (2 3 ) 2 + (2+x) 2 = x 2 +4x+16 （1分） 如果△ABP和△BCE相似， ∵∠APB=∠EBC 又∵∠BAP=∠BCD＞∠ECB（1分） ∴∠ABP=∠ECB ∴ AB BP = EC BC 即 4 x 2 +4x+16 = 6 x+6 ×2 7 6 解得 x 1 =8， x 2 =- 4 3 （不合题意，舍去） ∴x=8（1分） （3）①当AE=AB=4时 ∵AP ∥ BC， ∴ AP BC = AE EC 即 x 6 = 4 2 7 -4 ， 解得 x=4 7 +8 ， ②当BE=AB=4时 ∵AP ∥ BC， ∴ PE BE = AP BC ， 即 x 2 +4x+16 -4 4 = x 6 ， 解得 x 1 = 12 5 ， x 2 =0 （不合题意，舍去） ③在Rt△AFC中，∠AFC=90° ∵ FC=4＞2 3 =AF ， 在线段FC上截取FH=AF， ∴∠FAE＞∠FAH=45° ∴∠BAE＞45°+30°＞60°=∠ABC＞∠ABE ∴AE≠BE． 综上所述，当△ABE是等腰三角形时， x=4 7 +8 或 12 5