Question

如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，连接AC，△AB′C和△ABC关于AC所在的直线对称，AD和B′C相交于点O

如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，连接AC，△AB′C和△ABC关于AC所在的直线对称，AD和B′C相交于点O，连接BB′．（1）求证：△ABC≌△CDA．（2）请直接写出图中所有的等腰三角形（不添加字母）；（3）图中阴影部分的△AB′O和△CDO是否全等？若全等请给出证明；若不全等，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵AB∥CD，AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA，∠ACD=∠BAC，
在△ABC和△CDA中，

∠BCA＝∠DAC AC＝CA ∠BAC＝∠ACD

，
∴△ABC≌△CDA（ASA）；

（2）图中所有的等腰三角形有：△OAC，△ABB′，△CBB′；
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
又∵△AB′C和△ABC关于AC所在的直线对称，
∴△AB′C≌△ABC，
∴∠ACB=∠ACB′，AB=AB′，即△ABB′为等腰三角形，
∴∠DAC=∠ACB′，
∴OA=OC，即△OAC为等腰三角形，
∵CB=CB′，
∴△CBB′为等腰三角形；

（3）△AB′O≌△CDO，理由为：
证明：∵△AB′C≌△ABC，且△ABC≌△CDA，
∴△AB′C≌△CDA，
∴B′C=DA，AB′=CD，
又OA=OC，
∴DA-OA=B′C-OC，即OB′=OD，
在△AB′O和△CDO中，

OA＝OC OB′＝OD B′C＝DA

，
∴△AB′O≌△CDO．