Question

设数列{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b3=9，a5+b2=11（Ⅰ）求数列{an}，

设数列{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b3=9，a5+b2=11（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ只限文班做）求数列{1an?an+1}的前n项和Tn．（Ⅱ只限理班做）求数列{anbn}的前n项和Tn．

Answer 1

（Ⅰ）设{a_n}的公差为d，{b_n}的公比为q （q＞0）．
∵数列{a_n}是等差数列，{b_n}是各项都为正数的等比数列，
且a₁=b₁=1，a₃+b₃=9，a₅+b₂=11，
∴

(1+2d)+q2＝9 (1+4d)+q＝11

，
解得

q＝2 d＝2

，
∴an＝2n?1，bn＝2n?1．
（Ⅱ文科）∵a_n=2n-1，
∴T_n=

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

=

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

(2n?1)×(2n+1)

=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

2n?1

-

1

2n+1

）]
=

1

2

（1-

1

2n+1

）
=

n

2n+1

．
（Ⅱ理科）∵an＝2n?1，bn＝2n?1，
∴

an

bn

＝

2n?1

2n?1

，
∴Tn＝

1

20

+

3

21

+

5

22

+…+

2n?1

2n?1

，①
则

1

2

Tn＝

1

21

+

3

22

+…+

2n?3

2n?1

+

2n?1

2n

，②
由①-②得 

1

2

Tn＝

1

20

+

2 21 + 2 22 +…+ 2 2n?1

共n?1项

?

2n?1

2n

=1+

(1? 1 2n?1 )

1? 1 2

?

2n?1

2n

＝3?

3+2n

2n

，
∴Tn＝6?

3+2n

2n?1

．