(2013?绍兴一模)过点M(2,0)的直线l与抛物线C:y2=4x相交于A,B两点,过点A,B分别作y轴的垂线交直线
(2013?绍兴一模)过点M(2,0)的直线l与抛物线C:y2=4x相交于A,B两点,过点A,B分别作y轴的垂线交直线l′:y=-2x-2于点A′,B′.(Ⅰ)若四边形A...
(2013?绍兴一模)过点M(2,0)的直线l与抛物线C:y2=4x相交于A,B两点,过点A,B分别作y轴的垂线交直线l′:y=-2x-2于点A′,B′.(Ⅰ)若四边形A′B′BA是等腰梯形,求直线l的方程;(Ⅱ)若A′,O,B,三点共线,求证:AB′与y轴平行;(Ⅲ)若对于任意一个以AB为直径的圆,在直线x=m上总存在点Q在该圆上,求实数m的取值范围.
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解答:(本小题满分15分)
(Ⅰ)解:若四边形A′B′BA为等腰梯形,
则kAB=2,
故直线l的方程为y=2x-4.…(2分)
(Ⅱ)证明:设直线AB的方程为x=ty+2,A(x1,y1),B(x2,y2),
则A′(?
,y1),B′(?
,y2),
由
,得y2-4ty-8=0,
∴y1+y2=4t,y1y2═-8.…(4分)
因为A′,O,B三点共线,所以
=
,…(5分)
即2y1+y2=8t+4,又y1+y2=4t,得y2=-4,又y1y2=-8,
所以y1=2,所以A(1,2),B′(1,-4),…(7分)
故直线AB′与y轴平行.…(8分)
(Ⅲ)解:设Q(m,y0),由已知以AB为直径的圆经过点Q,
得kQA?kQB=-1,…(9分)
即
?
=?1,
即y1y2?y0(y1+y2)+
=?x1x2+m(x1+x2)?m2.(*)
由(Ⅱ)知y1+y2=4t,y1y2=-8,
则x1x2=4,x1+x2=4t2+4,
代入(*)式,得y02?4ty0+m2?4m?4mt2?4=0.…(11分)
因为总存在点Q,所以关于y0的方程恒有解,所以△≥0要恒成立.
即16t2-4m2+16m+16mt2+16≥0对一切的t∈R恒成立,
整理后得(4m+4)t2≥m2-4m-4.…(12分)
①当m≤-1时,上式不可能对一切的t∈R恒成立;…(13分)
②当m>-1时,t2≥
对一切的t∈R恒成立,
只需要m2-4m-4≤0,即2-2
≤m≤2+2
.…(14分)
综上,所求的实数m的取值范围为[2?2
,2+2
]. …(15分)
(Ⅰ)解:若四边形A′B′BA为等腰梯形,
则kAB=2,
故直线l的方程为y=2x-4.…(2分)
(Ⅱ)证明:设直线AB的方程为x=ty+2,A(x1,y1),B(x2,y2),
则A′(?
y1+2 |
2 |
y2+2 |
2 |
由
|
∴y1+y2=4t,y1y2═-8.…(4分)
因为A′,O,B三点共线,所以
y2 |
ty2+2 |
?2y1 |
y1+2 |
即2y1+y2=8t+4,又y1+y2=4t,得y2=-4,又y1y2=-8,
所以y1=2,所以A(1,2),B′(1,-4),…(7分)
故直线AB′与y轴平行.…(8分)
(Ⅲ)解:设Q(m,y0),由已知以AB为直径的圆经过点Q,
得kQA?kQB=-1,…(9分)
即
y1?y0 |
x1?m |
y2?y0 |
x2?m |
即y1y2?y0(y1+y2)+
y | 2 0 |
由(Ⅱ)知y1+y2=4t,y1y2=-8,
则x1x2=4,x1+x2=4t2+4,
代入(*)式,得y02?4ty0+m2?4m?4mt2?4=0.…(11分)
因为总存在点Q,所以关于y0的方程恒有解,所以△≥0要恒成立.
即16t2-4m2+16m+16mt2+16≥0对一切的t∈R恒成立,
整理后得(4m+4)t2≥m2-4m-4.…(12分)
①当m≤-1时,上式不可能对一切的t∈R恒成立;…(13分)
②当m>-1时,t2≥
m2?4m?4 |
4m+4 |
只需要m2-4m-4≤0,即2-2
2 |
2 |
综上,所求的实数m的取值范围为[2?2
2 |
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