Question

已知数列{an}的前n项和是Sn，且Sn=2an-n（n∈N*）．（1）证明：数列{an+1}是等比数列，并求数列{an}的通

已知数列{an}的前n项和是Sn，且Sn=2an-n（n∈N*）．（1）证明：数列{an+1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；（2）记bn=an+1anan+1，求数列{bn}的前n项和．

Answer 1

（1）∵S_n=2a_n-n，
∴n=1时，a₁=2a₁-1，解得a₁=1．
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（2a_n-n）-（2a_n-1-n+1）
=2a_n-2a_n-1-1，
∴a_n=2a_n-1+1，
∴a_n+1=2（a_n-1+1），
∵a₁+1=2，
∴数列{a_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列．
∴an+1＝2n，
∴an＝2n?1．
（2）∵b_n=

an+1

anan+1

=

2n

(2n?1)(2n+1?1)

=

1

2n?1

?

1

2n+1?1

，
∴数列{b_n}的前n项和：
S_n=

1

2?1

?

1

22?1

+

1

22?1

-

1

23?1

+

1

2n?1

?

1

2n+1?1

=1-

1

2n+1?1

=

2n+1?2

2n+1?1

．
∴数列{b_n}的前n项和为

2n+1?2

2n+1?1

．