Question

数学归纳法的证明题？

1. 对于每一个n大于等于2的整数，找出乘机…的“有证明”的公式
2.证明每一个正整数n大于等于1可以写成n=2^k m，其中k是个大于等于0的整数，m是一个奇数
麻烦给详细步骤

Answer 1

答案：1+2+3+4+ +n =n*(n+1)/2=(n^2+n)/2 ，设此数为T1，则有n^2+n=2T1。

后面的式子为：n^2+n-1=2T1-1。

现只需证明1+1/2+1/3+…+1/n的大小了,设此数为M,则有：T1*M=2T1-1，M=(2T1-1)/T1=2-1/T12>M 。

此式子也很好懂,因为总有n个1/n相加就会等于1,如1+3个1/3+14个1/14个（此时n到了14了）。

当n=3时,两式相等。

以下是数学归纳法的相关介绍：

数学归纳法（Mathematical Induction, MI）是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立。除了自然数以外，广义上的数学归纳法也可以用于证明一般良基结构，例如：集合论中的树。这种广义的数学归纳法应用于数学逻辑和计算机科学领域，称作结构归纳法。

在数论中，数学归纳法是以一种不同的方式来证明任意一个给定的情形都是正确的（第一个,第二个，第三个，一直下去概不例外）的数学定理。

虽然数学归纳法名字中有“归纳”，但是数学归纳法并非不严谨的归纳推理法，它属于完全严谨的演绎推理法。事实上，所有数学证明都是演绎法。

以上资料参考百度百科——数学归纳法

Answer 2

1. （n+1）/2n;当n=2时，明显成立；若n=n时成立证明n=n+1时也成立，由于（1-1/4）（1-1/9）……（1-1/n^2）=（n+1）/2n;对于（1-1/4）（1-1/9）……（1-1/n^2）（1-1/（n+1）^2）=（n+1）/2n*（（n+1）^2-1）/（n+1）^2=(n+1)/2n*n*(n+2)/(n+1)^2=(n+2)/(2*(n+1))即上式对n+1也成立

2. 呃……一定要用归纳法吗不用的话直接凡是偶数就除二，直到出现奇数
   

Answer 3

前面步骤省略
设:1sin(x)+2sin(2x)+…+nsin(nx)=sin[(n+1)x]/[4sin^2(x/2)]-(n+1)cos[(2n+1)x/2]/[2sin(x/2)]

则需要sin[(n+2)x]/[4sin^2(x/2)]-(n+2)cos[(2n+3)x/2]/[2sin(x/2)]
=sin[(n+1)x]/[4sin^2(x/2)]-(n+1)cos[(2n+1)x/2]/[2sin(x/2)]+(n+1)sin[(n+1)x]
则需要sin[(n+2)x]-(n+2)cos[(2n+3)x/2][2sin(x/2)]
=sin[(n+1)x]-(n+1)cos[(2n+1)x/2][2sin(x/2)]+(n+1)sin[(n+1)x][4sin^2(x/2)]
则需要sin[(n+2)x]-(n+2)cos[(2n+3)x/2][2sin(x/2)]
=sin[(n+1)x]-(n+2)cos[(2n+1)x/2][2sin(x/2)]+cos[(2n+1)x/2][2sin(x/2)]+(n+1)sin[(n+1)x][4sin^2(x/2)]
则需要sin[(n+2)x]-sin[(n+1)x]+(n+2)cos[(2n+1)x/2][2sin(x/2)]-(n+2)cos[(2n+3)x/2][2sin(x/2)]
=cos[(2n+1)x/2][2sin(x/2)]+(n+1)sin[(n+1)x][4sin^2(x/2)]
则需要sin[(n+2)x]-sin[(n+1)x]+(n+2)[2sin(x/2)]{cos[(2n+1)x/2]-cos[(2n+3)x/2]}
=cos[(2n+1)x/2][2sin(x/2)]+(n+1)sin[(n+1)x][4sin^2(x/2)]
则需要2cos[(2n+3)x/2]sin(x/2)+(n+2)[2sin(x/2)][2sin[(n+1)x]sin(x/2)]
=cos[(2n+1)x/2][2sin(x/2)]+(n+1)sin[(n+1)x][4sin^2(x/2)]
则需要(n+2)[sin[(n+1)x][4sin^2(x/2)]-(n+1)sin[(n+1)x][4sin^2(x/2)]
={cos[(2n+1)x/2]-cos[(2n+3)x/2]}[2sin(x/2)]
则需要(n+2)[sin[(n+1)x][4sin^2(x/2)]-(n+1)sin[(n+1)x][4sin^2(x/2)]
=2sin[(n+1)x]sin(x/2)[2sin(x/2)]
则需要(n+2)[sin[(n+1)x][4sin^2(x/2)]-(n+1)sin[(n+1)x][4sin^2(x/2)]
=sin[(n+1)x][4sin^2(x/2)]
很明显，上式是左右相等的
所以问题得证。

需要用到的三角函数：
sinθ-sinφ=2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2],则sin[(n+2)x]-sin[(n+1)x]=2cos[(2n+3)x/2]sin(x/2)
cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2],则cos[(2n+1)x/2]-cos[(2n+3)x/2]=2sin[(n+1)x]sin(x/2)
望采纳！