Question

数学归纳法证明下题？

n^4＋n^2＋2n能被4整除（n∈N+）

Answer 1

n=1

1+1+2 =4 能被4整除

p(1) is true

Assume p(k) is true

k^4＋k^2＋2k = 4m                   (m is +ve integer)

for n=k+1

(k+1)^4＋(k+1)^2＋2(k+1)

=(k^4+4k^3+6k^2+4k+1) +(k^2+2k+1) +(2k+2)

=(k^4 + k^2 +2k) + 4k^3+6k^2+6k +4

=4m +4k^3 +6k(k+1) +4

=4m +4k^3 +3 [2k(k+1)] +4

2k(k+1)  能被4整除

=4m +4k^3 +3(4m')  +4                                    

能被4整除

p(k+1) is true

By principle of MI , it is true for all +ve integer n

Answer 2

原式等于n(n^3+n+2)=n(n^3+1+n+1)=n[(n+1)(n^2-n+1)+(n+1)]=n(n+1)(n^2-n+1+1)
无论n为奇数还是偶数，n(n+1)都能被2整除，故只需要证明（n^2-n+2）能被2整除即可
n^2-n+2=(n(n-1)+2)而n(n-1)必然能被2整除，一个能被2整除的数 +2，得到新的数，也能被2整除。