Question

一道数学归纳法证明题，如下

求证n!<(n+1)^n/2^n

1.详细过程
2.这道题的亮点
3.这道题对于高二高三学生来说是简单题.中等题还是难题

Answer 1

(1)n=2 2!=2<3^2/2^2 =9/4
(2)设n=k时 k!<(k+1)^k /2^k 成立
（3）那么当n=k+1时
(k+1)!=(k+1)*k! <(k+1) *(k+1)^k/2^k =（k+1)^(k+1) /2^k
现证明(k+2)^(k+1)/2^(k+1）>(k+1)^(k+1)/2^k
证明(k+2)^(k+1)/2 >(k+1)^(k+1)
(k+2)^(k+1)>2(k+1)^(k+1)
ln(k+2)^(k+1)>ln2(k+1)^(k+1)=ln2 +(k+1)ln(k+1)
(k+1)ln(k+2)>ln2+(k+1)ln(k+1)
ln(k+2)>ln2/(k+1) +ln(k+1)
ln(k+2)-ln(k+1)>ln2/(k+1)
ln(k+2)/(k+1) >ln2/(k+1)
显然当k>1时
ln(k+2)/(k+1)>1 而ln2 /(k+1)<1
所以上式成立
所以 (k+1)! <(k+2)^(k+1)/2^(k+1)成立
原题目得证

Answer 2

1 详细过程48014632 这个哥们已经告诉你了
2 这道题没有什么亮点就是简单的归纳法的应用
3 这道题对于高二高三学生来说是很简单题

ps：我觉得这道题的n应该有一个取值范围，比如说n>1 n是正整数等等

Answer 3

应该是小于等于吧，当n=1的时候，不等式就不成立呀！
1！=1
右边也等于1