Question

如图I是△ABC的内心，AI的延长线交边BC于点D，交△ABC的外接圆于点E(1)BE与IE相等吗？为什么？(2)试说明I

如图I是△ABC的内心，AI的延长线交边BC于点D，交△ABC的外接圆于点E(1)BE与IE相等吗？为什么？(2)试说明IE是AE和DE的比例中项

Answer 1

(1) BE = IE ，理由见解析(2)证明见解析

① BE = IE   （1分） 连接 BI ∵ I 为△ ABC 内心 ∴∠1=∠2 ∠3=∠5 ∵∠3=∠4  ∴∠4=∠5 ∵∠ BIE =∠2+∠5 ∠ EBI =∠1+∠4 ∴∠ BIE =∠ EBI ∴ BE = IE    （6分） ②∵∠ BED =∠ AEB ∠4=∠5 ∴△ BED ∽△ AEB ∴  即 BE 2 = AE · ED 由①知 BE = IE ∴ IE 2 = AE · ED ∴ IE 是 AE 和 DE 的比例中项 （10分） （1）利用内心的性质得出∠1=∠2，∠3=∠5，再利用外角性质得出∠BIE=∠EBI，进而求出即可； （2）利用相似三角形的性质与判定得出△BED∽△AEB，进而求出BE2=AE?ED，即可得出答案．

Answer 2

简单分析一下，详情如图所示