Question

如图①，△ABC内接于⊙O，且∠ABC=∠C，点D在弧BC上运动．过点D作DE∥BC，DE 交直线AB于点E，连结BD。（1

如图①，△ABC内接于⊙O，且∠ABC=∠C，点D在弧BC上运动．过点D作DE∥BC，DE 交直线AB于点E，连结BD。（1）求证：∠ADB=∠E； （2）求证：AD 2 =AC·AE； （3）当点D运动到什么位置时，△DBE∽△ADE请你利用图②进行探索和证明。

Answer 1

解：∵DE∥BC， ∴∠ABC=∠E， ∵∠ADB，∠C都是AB所对的圆周角， ∴∠ADB=∠C， 又∠ABC=∠C， ∴∠ADB=∠E； （2）∵∠ADB=∠E，∠BAD=∠DAE， ∴△ADB∽△AED， ∴ ， 即AD 2 =AB·AE， ∵∠ABC=∠C， ∴AB=AC， ∴AD 2 =AC·AE； （3）点D运动到弧BC中点时， △DBE∽△ADE， ∵DE∥BC， ∴∠EDB=∠DBC， ∵∠DBC所对的是弧DC，∠EAD所对的是弧DB， ∴∠DBC=∠EAD， ∴∠EDB=∠EAD， 又∠DEB=∠AED， ∴△DBE∽△ADE。