Question

已知函数f（x）=sin2x+3sinxsin（x+π2），x∈R．（1）求该函数的单调递减区间；（2）求函数f（x）的最大

已知函数f（x）=sin2x+3sinxsin（x+π2），x∈R．（1）求该函数的单调递减区间；（2）求函数f（x）的最大值及取得最大值所对应的x的集合．

Answer 1

（1）f（x）=sin²x+

3

sinxsin（x+

π

2

）
=

1?cos2x

2

+

3

2

sin2x
=sin（2x-

π

6

）+

1

2

∴当

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

3π

2

+2kπ（k∈Z），时函数单调减，
即

2π

3

+kπ≤x≤

5π

3

+kπ（k∈Z），函数单调减，
∴函数的单调递减区间为[

2π

3

+kπ，

5π

3

+kπ]（k∈Z），
（2）∵f（x）=sin（2x-

π

6

）+

1

2

∴当2x-

π

6

=2kπ+

π

2

（k∈Z），即x=kπ+

π

3

时，函数有最大值，
最大值为1+

1

2

=

3

2

．