Question

函数f(x)有一阶连续导数，求f'(x)lnf(x)的积分

请问这个应该怎么求

Answer 1

这里就是分部积分法的运用
首先凑微分∫f'(x)lnf(x)dx
=∫lnf(x)df(x)
使用分部积分法展开得到
=f(x) *lnf(x) -∫f(x)dlnf(x)
=f(x) *lnf(x) -∫f(x)*1/f(x) *f'(x)dx
=f(x) *lnf(x) -∫f'(x)dx
=f(x) *lnf(x) -f(x) +C，C为常数

Answer 2

运用洛必达法则
当x→0时
分子:sinx→0,f(sinx)→f(0)=1,f(sinx)-1→0;
分母:f(x)→f(0)=1,lnf(x)→0
满足洛必达法则的条件,于是
原式=lim [f(sinx)-1]'/[lnf(x)]'
=lim [f'(sinx) * (sinx)' ]/ [1/f(x) * f'(x)]
=lim [f'(sinx) * cosx]/[[1/f(x) * f'(x)]]
这时,将x→0,f(0)=f'(0)=1,直接带入得
结果=1

追问

你回答错题了，这里哪有sinx