Question

高中数学难题求解几何

Answer 1

（1）解：f ' (x)=x²+2ax+b
曲线C过点P(1,2)
代入得：f (1)=1/3+2a+b=2①
曲线C过点P(1,2)的切线与x+2y-14=0垂直。
所以：切线斜率k=-2 f ' (1)=1+2a+b=2②
由①②
解得:a=-2/3 b=7/3 f(x)=1/3x³-2/3x²+7/3x

（2）g(x)=(m²-1)[f(x)-7/3x]
=(m²-1)[1/3x³-2/3x²+7/3x-7/3x]
=(m²-1)(1/3x³-2/3x² )
g ' (x)=(m²-1)[x²-4/3x)
因为出现了极大值和极小值，｛g ' (x)=(m²-1)[x²-4/3x)是二次函数，与x轴最多两个交点，所以可以简单一点把答案找出来，｝
g ' (x)=(m²-1)[x²-4/3x)=0.
X1=0 X2=4/3
f(0)=0 f(4/3)=-(m²-1)32/81
当m²-1＞0.即m＞1或者m＜-1时
函数极大值为：f(0)=0
函数极小值为：f(4/3)=-(m²-1)32/81
极大值-极小值=(m²-1)32/81
当m²-1＜0时。即-1＜m＜1时
函数极大值为：f(4/3)=-(m²-1)32/81
函数极小值为：f(0)=0
极大值-极小值=-(m²-1)32/81
（3）f ' (x)=x²+2ax+b
函数在（1，2）存在有两个极值点，导函数对称轴必须在（1，2）之间
1＜-b/2a＜2.即1＜-a＜2., -2＜a＜-1.,
函数的
判别式必须大于o. △=b²-4ac=a²-b＞0即b＜a²

a+b＜a²+a＜2 即a+b＜2①

f ' (1)=1+2a+b＞0且f ' (2)=4+4a+b＞0
a+b＞-1-a＞0 且 a+bd＞-4-3a＞-1
综合起来a+b＞0 ②

由①②证得：0＜a+b＜2

Answer 2

已知函数f(x)=1/3x^3+ax^2+bx (a,b∈R)
(1)若曲线C：y=f(x)过点P(1,2)，在点P处的切线与直线x+2y-14=0垂直，求a,b：
(2)在(1)条件下，求函数g(x)=(m^2-1)[f(x)-7/3x] (m≠±1)的极大值与极小值之差；
(3)若f(x)在区间(1,2)内存在两个不同的极值点，求证：0<a+b<2.
(1)解析：∵函数f(x)=1/3x^3+ax^2+bx，其图像过点P(1,2)，在点P处的切线与直线x+2y-14=0垂直
∴f(1)=1/3+a+b=2==>a+b=5/3
函数f’(x)=x^2+2ax+b==>f’(1)=2a+b+1=2==>2a+b=1
二者联立解得a=-2/3，b=7/3；
∴f(x)在P点处的切线为y-2=2(x-1)==>y=2x
(2)解析：∵函数f(x)=1/3x^3-2/3x^2+7/3x
∴g(x)=(m^2-1)[1/3x^3-2/3x^2] (m≠±1)
令g’(x)=(m^2-1)[x^2-4/3x]=0==>x1=0,x2=4/3
g(0)=0，g(4/3)=-32(m^2-1)/81
∴函数g(x)的极大值与极小值之差为32(m^2-1)/81
(3) 证明：∵f(x)在区间(1,2)内存在两个不同的极值点
令f’(x)=x^2+2ax+b=0
⊿=4a^2-4b>0==>a^2>b==>-√b<a<√b
∴b-√b<a+b<b+√b
由韦达定理得x1+x2=-2a, x1x2=b
∵x1,x2∈(1,2)
∴b>1
令b=1
∴0<a+b<2

仅供参考

Answer 3

你多给点分，有人为你解答的