Question

设f（x）为定义在R上的偶函数，当x≤-1时，f（x）=x+b，且f（x）的图象经过点（-2，0），又在y=f（x）的

设f（x）为定义在R上的偶函数，当x≤-1时，f（x）=x+b，且f（x）的图象经过点（-2，0），又在y=f（x）的图象中，有一部分是顶点为（0，2），且过（-1，1）的一段抛物线．（1）试求出f（x）的表达式；（2）求出f（x）值域．

Answer 1

（1）经过点（-2，0），斜率为1的射线：y=x+2，（x≤-1）
抛物线过（-1，1）和（0，2）
由于f（x）为定义在R上的偶函数，令y=ax²+c，
则有a+c=1，c=2，
得y=-x²+2，（-1＜x＜1）
又函数在R上是偶函数
所以x≥1时，射线经过（2，0）且斜率为-1，
即y=-x+2，（x≥1）
所以f（x）=

x+2，x≤-1 2-x2，-1＜x＜1 2-x，x≥1

．
（2）当x≤-1时，f（x）=x+2∈（-∞，1]，
当-1＜x＜1时，f（x）=2-x²∈（1，2]，
当x≥1时，f（x）=2-x∈（-∞，1]，
综上可得，f（x）∈（-∞，2]
则f（x）的值域为：（-∞，2]．