已知f(x)是定义在R上的偶函数,对任意的x∈R,都有f(2+x)=-f(x),且当x∈[0,1]时f(x)=-x2+1,则
已知f(x)是定义在R上的偶函数,对任意的x∈R,都有f(2+x)=-f(x),且当x∈[0,1]时f(x)=-x2+1,则方程f(x)=k,k∈[0,1)在[-1,5]...
已知f(x)是定义在R上的偶函数,对任意的x∈R,都有f(2+x)=-f(x),且当x∈[0,1]时f(x)=-x2+1,则方程f(x)=k,k∈[0,1)在[-1,5]的所有实根之和为( )A.0B.2C.4D.8
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∵对任意的x∈R,都有f(2+x)=-f(x),
∴f(4+x)=f(x),
故f(x)是周期为4的周期函数.
∵函数f(x)是偶函数,
∴当x∈[-1,0]时,f(x)=-x2+1,
即x∈[-1,1]时,f(x)=-x2+1,对称轴为x=0,
当1≤x≤3时,-1≤x-2≤1,
∵f(2+x)=-f(x),
∴f(x)=-f(x-2),
此时f(x)=-f(x-2)=-[-(x-2)2+1]=(x-2)2-1.当3≤x≤5时,-1≤x-4≤1,
此时f(x)=f(x-4)=-(x-4)2+1.
作出函数f(x)在[-1,5]的图象如图:
由图象可知当1≤x≤3时,对称轴为x=2,
当3≤x≤5时,对称轴为x=4,
则当k∈[0,1),函数f(x)与y=k,有4个交点,
它们分别关于x=0,x=4对称,
设对称的交点的横坐标分别为x1,x2,x5,x6,
则x1+x2=0,x5+x6=2×4=8,
∴方程f(x)=k,k∈[0,1)在[-1,5]的所有实根之和为0+8=8,
故选:D
∴f(4+x)=f(x),
故f(x)是周期为4的周期函数.
∵函数f(x)是偶函数,
∴当x∈[-1,0]时,f(x)=-x2+1,
即x∈[-1,1]时,f(x)=-x2+1,对称轴为x=0,
当1≤x≤3时,-1≤x-2≤1,
∵f(2+x)=-f(x),
∴f(x)=-f(x-2),
此时f(x)=-f(x-2)=-[-(x-2)2+1]=(x-2)2-1.当3≤x≤5时,-1≤x-4≤1,
此时f(x)=f(x-4)=-(x-4)2+1.
作出函数f(x)在[-1,5]的图象如图:
由图象可知当1≤x≤3时,对称轴为x=2,
当3≤x≤5时,对称轴为x=4,
则当k∈[0,1),函数f(x)与y=k,有4个交点,
它们分别关于x=0,x=4对称,
设对称的交点的横坐标分别为x1,x2,x5,x6,
则x1+x2=0,x5+x6=2×4=8,
∴方程f(x)=k,k∈[0,1)在[-1,5]的所有实根之和为0+8=8,
故选:D
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