Question

如图在等腰△ABC中，AB=AC,BD⊥AC,CE⊥AB,垂足分别为D,E,连接DE。求证四边形BCDE是等腰梯形。

Answer 1

方法一：
∵BD⊥CD、CE⊥BE，∴B、C、D、E共圆，∴∠AED＝∠ACB。
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，而∠AED＝∠ACB，∴∠AED＝∠ABC，∴ED∥BC，
∴BCDE是梯形，又∠EBC＝∠DCB，∴梯形BCDE是等腰梯形。

方法二：
∵BD⊥CD、CE⊥BE，∴B、C、D、E共圆，∴由割线定理，有：AE×AB＝AD×AC，
又AB＝AC，∴AE＝AD，∴AE/AB＝AD/AC，∴ED∥BC，∴BCDE是梯形。
∵B、C、D、E共圆，ED∥BC，∴BE＝CD，∴梯形BCDE是等腰梯形。

方法三：
∵BD⊥AC、CE⊥AB，∴由三角形面积公式，有：S(△ABC）＝（1/2）AB×CE＝（1/2）AC×BD，
又AB＝AC，∴BD＝CE，又BC＝CB、∠BDC＝∠CEB＝90°，∴Rt△BCD≌Rt△CBE，
∴CD＝BE，∴AB－BE＝AC－CD，∴AE＝AD，∴AE/AB＝AD/AC，∴ED∥BC，
∴BCDE是梯形，而BE＝CD，∴梯形BCDE是等腰梯形。