Question

一元二次方程的问题：已知三个关于x的一元二次方程ax^2+bx+c=0,bx^2+cx+a=0,cx^2+ax+b=0恰有一个公共实根

已知三个关于x的一元二次方程ax^2+bx+c=0,bx^2+cx+a=0,cx^2+ax+b=0恰有一个公共实根，则（a^2/bc）+(b^2/ac)+(c^2/ab)的值为？

Answer 1

设三个关于x的一元二次方程的公共实数根为t，
则at^2+bt+c=0①，bt^2+ct+a=0②，ct^2+at+b=0③，
①+②+③得（a+b+c）t^2+（a+b+c）t+（a+b+c）=0，
∴（a+b+c）（t^2+t+1）=0，
而t^2+t+1=（t+1/2）^2+3/4，
∵（t+1/2）^2≥0，
∴t^2+t+1＞0，
∴a+b+c=0，
∴a+b=-c，