Question

求此微分方程满足所给初始条件的特解：y"-3y'+2y=5，y|x=0=1，y'|x=0=2（注：两处的x=0都是下角标)谢帮解答

Answer 1

特征方程为a^2--3a+2=0，解为a=1和a=2，因此齐次方程的通解是
y=C*e^x+D*e^(2x)。
非齐次方程的特解设为y=b，代入得2b=5，b=5/2，于是
非齐次方程的通解为y=C*e^x+D*e^(2x)+5/2。
令y(0)=1，得C+D+5/2=1；
令y'(0)=2，得C+2D=2，解得
C=--5，D=7/2，于是解为
y=--5*e^x+7*e^(2x)/2+5/2。

追问

y"-y=4xe^x，y|x=0=0，y'|x=0=2（注：两处x=0都是下角标），您能帮忙解下这道题吗？谢谢！！！！！

追答

类似求解。特征方程a^2--1=0，解为a=1和a=--1，于是齐次方程通解是
y=C*e^x+D*e^(--x)。
非齐次方程的特解设为y=(ax^2+bx)e^x，
y'=e^x(ax^2+2ax+bx+b)，
y''=e^x(ax^2+4ax+bx+2a+2b)，
代入得e^x(4ax+2a+2b)=e^x(4x)，
于是a=1，b=--1，特解是y=e^x(x^2--x)。
非齐次方程通解是y=C*e^x+D*e^(--x)+e^x(x^2--x)。
令y(0)=0，得C+D=0，
y'(0)=2，得C--D--1=2，解得
C=3/2，D=--3/2，于是解为
y=3e^x/2--3e^(--x)/2+e^x(x^2--x)。