Question

设f(x)是连续函数,证明？

Answer 1

考虑等式左边的积分
令t=π-x，则dx=-dt
∫xf(sinx)dt（积分范围0→π）
=-∫(π-t)f(sin(π-t))dt（积分范围π→0）
=∫(π-t)f(sin(π-t))dt（积分范围0→π）
=∫(π-t)f(sint)dt（积分范围0→π）
=∫(π-x)f(sinx)dt（积分范围0→π）
所以
2∫xf(sinx)dt（积分范围0→π）
=∫xf(sinx)dt+∫(π-x)f(sinx)dt（积分范围0→π）
=π∫f(sinx)dt（积分范围0→π）
因此
∫xf(sinx)dt（积分范围0→π）
=π/2*∫f(sinx)dt（积分范围0→π）

Answer 2

证明极限在各个点存在就行了

追问

就是想知道怎么证明？