Question

已知数列{a(n)}的前n项和为S(n),且满足a(1)=1,a(n+1)=S(n)+1(n∈N(+))

已知数列{a(n)}的前n项和为S(n)，且满足a(1)=1，a(n+1)=S(n)+1(n∈N(+))
(1)求{a(n)}的通项公式；
(2)设等差数列{b(n)}的前n项和为T(n)，若T(3)=30，b(n)≥0(n∈N(+))，且a(1)+b(1)，a(2)+b(2)，a(3)+b(3)成等比数列，求T(n)；
(3)证明：T(n)/a(n)≤9(n∈N(+))

Answer 1

(1).a(n+1)=S(n+1)-S(n)=S(n)+1,S(n+1)=2S(n)+1,S(n+1)+1=2(S(n)+1);
S(n)+1是等比数列，S(1)=a(1)=1,首项等于2，公比等于2，S(n)+1=2^n，S(n)=2^n-1;
a(n)=S(n-1)+1=2^(n-1)
(2).T(3)=b(1)+b(2)+b(3)=30,b(1)+d=10;(a(1)+b(1))(a(3)+b(3))=(a(2)+b(2))^2,(b(1)+1)(b(1)+2d+4)=(b(1)+d+2)^2,带入：(b(1)+1)(d+14)=144,得b(1)=8或b(1)=15,如果b(1)=15,d=-5,那么b(5)=-5<0不符合题意，故b(1)=8,d=2,所以T(n)=n(n+7)
(3).T(n)/a(n)=n(n+7)/2^(n-1),T(1)=8,T(2)=9,T(3)=15/2;用数学归纳法即可证明。

Answer 2

（1）a(n+1)=S(n+1)-S(n)=S(n)+1
S(n+1)+1=2（S(n)+1）
令S(n)+1=R(n)，则R(n+1)=2R(n)，R(1)=S(1)+1=a(1)+1=2
R(n)是以2为首项，2为公比的等比数列。
R(n)=2^n。
S(n)=2^n-1；
a（n）=S(n)-S(n-1)=2^n-1-2^（n-1）+1=2^（n-1）（n>1）
a（1）=1;
所以，a（n）=2^（n-1）（n>=1）
（2）b2=10，令b1=10-t，b3=10+t
a2=2，a3=4
12^2=（11-t）（14+t），得：t=2或t=-5（舍去）
b1=8 b2=10 b3=12
bn=8+2（n-1）=2n+6，Tn=（2n+6+8）n/2=n^2+7n;
（3）T(1)/a(1)=8≤9,T(2)/a(2)=9≤9;
设当n=k时，命题成立，k>=2;
则当n=k+1时，T(n)/a(n)=T(k+1)/a(k+1)=[(k+1)^2+7(k+1)]/2^k=(k^2+9k+8)/2^k=(1/2k^2+9/2k+4)/2^(k-1)=(k^2+7k)/2^(k-1)+(-1/2k^2-5/2k+4)2^(k-1)<=9+(-1/2k^2-5/2k+4)2^(k-1)=9-[1/2(k+5/2)^2-57/8]/2^(k-1)<9。
故命题成立。