Question

高中数学题求详细解析

Answer 1

以DB,DC为x,y轴建立空间直角坐标系，则B(√3,0,0），C(0，1，0),A(0，-1，0),
A1(0，-1，√3),C1(0,1,√3)
(1)AE:EA1=1:2,∴E(0，-1，√3/3）。
向量BC1=(0,1,√3)-(√3,0,0）=(-√3,1，√3），
向量DE*BC1=-1+1=0，
∴DE⊥BC1.
(2)设E(0，-1，m),0<m<√3，平面BDE,ABE的法向量分别是n=(a,b,1),p=(c,1,d),
则n*DB=√3a=0,n*DE=-b+√3/3=0，解得a=0,b=√3/3.
p*AB=√3c+1=0,p*AE=md=0,解得c=-√3/3，d=0.
∴n=(0,√3/3,1），p=(-√3/3,1,0），|n|=|p|=2/√3，
向量n*p=√3/3，
cos<n,p>=n*p/(|n||p|)=√3/4≠cos60°，
∴不存在满足题设的E.