Question

如图，直角梯形ABCD中，AD//BC， ∠A=90 °，AB=6，BC=8，AD=14，E为AB上一点

如图，直角梯形ABCD中，AD//BC， ∠A=90 °，AB=6，BC=8，AD=14，E为AB上一点，BE=2，点F在BC边上运动，以FE为一边作菱形FEHG，使点H落在AD边上，使点G落在梯形ABCD内或其边上。
（1）当BF=____时，四边形FEHG为正方形；
（2）若BF=x，△FCG的面积为y，求y与x的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围）
（3）分别画出△FCG的面积取得最大值和最小值时相应的图形（不要求尺规作图，不要求写画法），并直接写出△FCG面积的最大值和最小值。

可以不画图，拜托了

Answer 1

试题已知：如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=6，BC=8，AD=14．E为AB上一点，BE=2，点F在BC边上运动，以FE为一边作菱形FEHG，使点H落在AD边上，点G落在梯形ABCD内或其边上．若BF=x，△FCG的面积为y．
（1）当x=4
4
时，四边形FEHG为正方形；
（2）求y与x的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围）
（3）在备用图中分别画出△FCG的面积取得最大值和最小值时相应的图形（不要求尺规作图，不要求写画法），并求△FCG面积的最大值和最小值；（计算过程可简要书写）
（4）△FOG的面积由最大值变到最小值时，点G运动的路线长为12-2 3
12-2 3

．考点：直角梯形；全等三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；正方形的性质．专题：几何综合题．分析：（1）根据直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=6，BC=8，AD=14可直接求出答案；
（2）连接FH，作GQ⊥BC于Q，根据菱形FEHG，求证△QGF≌△AEH，可得S△FCG=1
2
×CF×GQ=16-2x，然后即可求得y与x的函数关系式；
（3）当点F运动到使菱形FEHG的顶点H与点A重合时，x取得最小值，△FCG的面积最大，利用勾股定理求得BF，可得y=16-2x=16-4 3
，然后即可求得△FCG的面积的最大值；
（4）如下图，在题图的基础上，继续作CM⊥AD与M，GK⊥AD于K，由（3）求得的△FCG的面积的最大值和△FCG面积的最小值为3，即可直接得出答案．解答：解：（1）答：当x=4时，四边形FEHG为正方形；

（2）如图，连接FH，作GQ⊥BC于Q，则∠GQF=90°，∠GQF=∠A．
∵菱形FEHG，
∴GF=EH，EH∥FG，
∴∠EHF=∠GFH，
∵直角梯形ABCD中，AD∥BC，
∴∠AHF=∠HFC，
∴∠AHF-∠EHF=∠HFC-∠GFH，即∠AHE=∠GFQ，
∴△QGF≌△AEH，
∴GQ=EA=AB-BE=4，
∵BC=8，BF=x，
∴S△FCG=1 2 ×CF×GQ=16-2x．
∴y与x的函数关系式y=16-2x；

（3）①如图，
当点F运动到使菱形FEHG的顶点H与点A重合时，x取得最小值，△FCG的面积最大，
画法如下：以E为圆心，EA为半径画弧，交BC边上于点F，平移EA到FG，连接AG，得到四边形FEHG为菱形，此时EF=EA=AB-BE=4，BF= EF2-BE2 = 42-22 =2 3 ．
y=16-2x=16-4 3 ，
△FCG的面积的最大值为16-4 3 ．
②如图，
当点F运动到使菱形FEHG的顶点G落在梯形ABCD的CD边上时，x取最大值，△FCG的面积取得最小值，画法如下：在图6中有GQ=4可知．无论点F在BC边上如何运动，点G到BC及AD的距离都不变，分别为4、2，取AE的中点P，（AP=2），过点P作BC的平行线，交CD与G，作EG的垂直平分线，分别交AD、BC于H、F，顺次连接F、E、H、G得到四边形FEHG，可证的四边形FEHG为菱形．
如图，作CM⊥AD与M，GK⊥AD于K，则BP=4，EP=AP=2，
∵梯形ABCD中，AB=6，BC=8．AD=14，
∴CM=AB=6，DM=AD-AM=6，GK=AP=2，
∵DM=CM，∠CMD=90°，
∴∠D=45°，
∴DK=GK=2，PG=AK=AD-DK=12，
与（2）同理可证△KGH≌△BEF，KH=BF，
设此时的BF=x，则AH=AD-KH-DK=14-BF-2=12-x，在直角三角形AEH与直角三角形BEF中，由勾股定理得
AE2+AH2=EH2，BE2+BF2=EF2，由菱形的性质可知EH=EF，
∴AE2+AH2=BE2+BF2，即42+（12-x）2=22+x2，解得x=13 2 ，此时y=16-2x=3，
∴△FCG面积的最小值为3；

（4）答：△FCG面积由最大值变到最小值时，点G运动的路线长为12-2 3 ．点评：此题主要考查直角梯形，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质等知识点的理解和掌握，此题有一定的拔高难度，属于难题．
答题：fxx老师

Answer 2

解：1，当三角形BFE,AEH为全等三角形时，四边形FEHG为正方形，所以，当BF=AE=6-2=4时 ，所求四边形是正方形。 2：三角形FCG 的高=AE=4，FC=8-X,所以Y=4 (8-X) .1/2=2(8-x). 3：由题2知道，G始终在梯形的中位线上运动，当F在C点时 G在CD中点上，CFG面积=0.当H与A重合时，EH=EF=4，BF=2根号3，此时FCG面积最大=2（8-2根号3）=16-4根号3. 4 ：G的路线长=8+根号59 -2根号3.

追问

能不能再详细点