Question

高等数学，关于对面积的曲面积分

请问，在（3）题中，为什么积分曲面关于那两个面均对称？又因此为什么使它们的二重积分为0？

在（4）题中，为什么投影区域是那个而不是 ≤z^2 ？又为什么函数xy和yz是关于y均为奇函数？又因此为什么使它们的二重积分为0？

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Answer 1

奇偶性可用公式ƒ(-x)=±ƒ(x)验算

总之在区域上，至少有一个自变量是奇函数时，积分结果就是0了

不需要同时两个都是奇函数什么的

反而，两个独立变量的奇函数乘在一起，依然是奇函数，因为是变量独立的

x是奇函数，xy依然是奇函数，xyz也是奇函数

但是独立奇函数跟一个独立偶函数乘在一起，也是奇函数

例如xy^2，x^3y^2等等，也是奇函数

欢迎采纳，不要点错答案哦╮(╯◇╰)╭

追问

z（-x，y）=z(x,y) 怎么理解？

然而，么函数xy和yz是关于y均为奇函数，是怎么的图像？可以画出来看看吗

追答

就是把负号吃掉呗，例如z(x,y) = x^2y^2，那z(-x,y)也是等于x^2y^2吗？

跟一元定积分类似的，f(-x)=f(x)，那么f(x)就是偶函数，若是等于-f(x)，就是奇函数

两种情况都不是的，就不能用以上两个定理哟

xy和yz的判断图像从你那个图11-9就能看清楚了，

其实是看曲面判断而不是被积函数的，积分Σ区域关于x轴对称，所以若关于y是奇函数时，积分结果即为0