Question

f(x)=xlnx+ax2-(2a+1)x在x=1处取极大值,求a的取值范围

Answer 1

f'(x)=lnx+2a(x-1)，代入x=1得f'(1)=0，说明x=1恒为f(x)的极值点
若要求x=1为极大值点，还要满足f''(1)<0
f''(x)=1/x+2a，代入x=1得f''(1)=1+2a<0
所以a的取值范围为：a<-1/2

Answer 2

（1）令g(x)=f'(x)=lnx+x/x-2ax+2a-1=lnx-2ax+2a x>0
g'(x)=1/x-2a x>0
a≤0时 g'(x)>0→g(x)是增函数 单调递增区间x∈(0,+∞)
a>0时 驻点x=1/(2a) 左+ 右- 为极大值点
单调递增区间x∈(0,1/2a)，单调递减区间x∈(1/2a,+∞)
（2）已知f（x）在x＝1处取得最大值
f(1)为极大值 由（1）f''(1)=g'(1)=1-1/2a<0→a>½
lim(x→0+)f(x)=0 f(1)=-a+2a-1=a-1≥0→a≥1
实数a的取值范围a∈[1,+∞)

Answer 3

解：f(x)=lnx-ax

Answer 4

（1）令g(x)=f'(x)=lnx+x/x-2ax+2a-1=lnx-2ax+2a x>0
g'(x)=1/x-2a x>0
a≤0时 g'(x)>0g(x)是增函数 单调递增区间x∈(0,+∞)
a>0时 驻点x=1/(2a) 左+ 右- 为极大值点
单调递增区间x∈(0,1/2a)，单调递减区间x∈(1/2a,+∞)
（2）已知f（x）在x＝1处取得最大值
f(1)为极大值 由（1）f''(1)=g'(1)=1-1/2a<0a>½
lim(x0+)f(x)=0 f(1)=-a+2a-1=a-1≥0a≥1
实数a的取值范围a∈[1,+∞)