Question

质量为m,边长为a的正方形薄板,质量均匀分布.则绕过其中心且与正方形垂直的转轴的转动惯量为?

Answer 1

如下图所示：

一是根据垂直轴定理积分。

二是根据垂直轴定理积分。

无论哪种方法，都需要运用均匀细棒绕垂直于自身中心的。

转动惯量公式 mL²/12。

主要优势：

一个物体以角速度ω绕固定轴z轴的转动同样可以视为以同样的角速度绕平行于z轴且通过质心的固定轴的转动。也就是说，绕z轴的转动等同于绕过质心的平行轴的转动与质心的转动的叠加。

利用平行轴定理可知，在一组平行的转轴对应的转动惯量中，过质心的轴对应的转动惯量最小。垂直轴定理。

Answer 2

解题过程如下图：

扩展资料

一个物体以角速度ω绕固定轴z轴的转动同样可以视为以同样的角速度绕平行于z轴且通过质心的固定轴的转动。也就是说，绕z轴的转动等同于绕过质心的平行轴的转动与质心的转动的叠加。

利用平行轴定理可知，在一组平行的转轴对应的转动惯量中，过质心的轴对应的转动惯量最小。垂直轴定理

一个平面刚体薄板对于垂直它的平面轴的转动惯量，等于绕平面内与垂直轴相交的任意两正交轴的转动惯量之和。 

表达式:Iz=Ix+Iy 

刚体对一轴的转动惯量，可折算成质量等于刚体质量的单个质点对该轴所形成的转动惯量。

Answer 3

求正方形绕质心轴旋转的转动惯量

 

利用二重积分来求

过程如下图

 

Answer 4

假设我们有公式，正方形的转动惯量为 J=kma^2
这个时候我们把正方形等分成4个小正方形，根据公式可得如果小正方形绕着自己的重心转，那么小正方形的转动惯量为 j=k(m/4)*(a/2)^2
根据 惠更斯-史丹纳定理（平行轴定理）可得，如果小正方形绕着大正方形的重心转的话其转动惯量就是 （小正方形重心到转轴的距离是L，质量是m/4）
I=j+(m/4)L^2
几何上分析一下得到 L=(根号2)*a/4
我们可以得到大正方形的转动惯量为 4*I
4*I=J
4j+4*(m/4)L^2=kma^2
4 * k(m/4)*(a/2)^2+4*(m/4)L^2=kma^2
（kma^2) /4 +mL^2= kma^2 。。。。。。 L=(根号2)*a/4
(ma^2)/8=0.75*kma^2
1/8=0.75k
k=1/6
所以我们得到正方形转动惯量的公式为J=(1/6)ma^2