Question

质量为m,边长为a的正方形薄板,质量均匀分布,则绕过其中心且与正方形垂直的转轴的转动惯量为多少?

Answer 1

假设我们有公式，正方形的转动惯量为 J=kma^2
这个时候我们把正方形等分成4个小正方形，根据公式可得如果小正方形绕着自己的重心转，那么小正方形的转动惯量为 j=k(m/4)*(a/2)^2
根据 惠更斯-史丹纳定理（平行轴定理）可得，如果小正方形绕着大正方形的重心转的话其转动惯量就是 （小正方形重心到转轴的距离是L，质量是m/4）
I=j+(m/4)L^2
几何上分析一下得到 L=(根号2)*a/4
我们可以得到大正方形的转动惯量为 4*I
4*I=J
4j+4*(m/4)L^2=kma^2
4 * k(m/4)*(a/2)^2+4*(m/4)L^2=kma^2
（kma^2) /4 +mL^2= kma^2 。。。。。。 L=(根号2)*a/4
(ma^2)/8=0.75*kma^2
1/8=0.75k
k=1/6
所以我们得到正方形转动惯量的公式为J=(1/6)ma^2