Question

纯滚动圆盘上点的速度与加速度分析

Answer 1

​ 刚体的平面运动模型中,纯滚动圆盘是一个简单而重要的模型,通过对圆盘滚动过程中其上各点的 和 的分布进行分析,能够加深对刚体平面运动的理解.同时为了直观,我们采用瞬心法和几何方法来解释.

​ 由于圆盘是纯滚动, ,所以A为速度瞬心,圆盘上任一点M的速度方向与AM垂直

​ 假设圆盘上存在一点C,使得 ,则C为圆盘的加速度瞬心.我们由

得到,CM与M点的加速度的夹角 满足

所以 为常数,由几何关系我们容易得到 ,加速度瞬心位于以OA为直径的圆上且可以确定位置

​ 由以上得到的结论我们可以看出每点的速度和加速度都有不同的方向和不同的夹角,那么它们之间有没有什么关系呢?是否会有很多点的加速度和速度的夹角相同?这些点分布在哪些位置呢?我们首先从特殊情况入手.

​ 当 与a共线时,如图3(1), ,同时因为O点 ，a共线，C点 ，A点 ，所以这些点在过O,A,C的圆上

​ 同理,v垂直于a时,如图3(2), ,此时这些点在过A,C且与AO相切的圆上

​ 上图中 ,其他情况同理,所以夹角为 时,点集也是圆,且恒过A,M两点,位于平行和垂直的两圆之间.

​ 实际上由于加速度瞬心和速度瞬心的特殊性,这些速度和加速度夹角固定的点构成的圆是一组恒过加速度瞬心和速度瞬心的圆系,我们作出这些圆后(如下图5)就能够看出这些圆的包络线就是两段圆弧拼接而成.

​ 在这个图中我们反而发现刚开始我们找的两个"特殊"圆看起来并不是那么特殊,原因也是因为加速度瞬心由

确定,它的位置与角加速度和角速度有关,所以初始找的两个特殊图形在几何图形中的位置自然就不具有特殊性

​ 通过以上的分析,我们利用几何的方法找到了纯滚动圆盘的速度瞬心和加速度瞬心;得到只要速度和加速度成相同的角度,那么这些点都在同一个圆上;发现这些点的分布就是一组过两个定点的圆系,完全变成了几何上的,数学上的分析,也因此更加便于理解.