Question

设椭圆方程为x^2+y^2/4=1,过点M（0,1）的直线L交椭圆于点A，B，O是坐标原点，点P满足向量OP=1/2（向量OA +

设椭圆方程为x^2+y^2/4=1,过点M（0,1）的直线L交椭圆于点A，B，O是坐标原点，点P满足向量OP=1/2（向量OA +向量OB），点N的坐标为（1/2,1/2），当L绕点M旋转时，求：1）动点P的轨迹方程；
2）|向量NP|　的最大值与最小值

Answer 1

(1).解：
直线L过M(0,1)
当直线L⊥x轴时：OA+OB=0，则OP=0，则P点为原点(0,0)
当直线L不垂直x轴时：设L斜率为k，则直线L方程为：y=kx+1
联立椭圆4x²+y²=4和直线y=kx+1，得：
4x²+k²x²+1+2kx=4，即(k²+4)x²+2kx-3=0
则x1+x2=-2k/(k²+4)
则y1+y2=(kx1+1)+(kx2+1)=k(x1+x2)+2=-2k²/(k²+4)+2=8/(k²+4)
OA=(x1,y1)，OB=(x2,y2)，则OA+OB=(x1+x2,y1+y2)=(-2k/(k²+4),8/(k²+4))
则OP=1/2(OA+OB)=(-k/(k²+4),4/(k²+4))
即P点坐标为(-k/(k²+4),4/(k²+4))
令x=-k/(k²+4)，y=4/(k²+4)
得：4x²+y²-y=0，即x²/(1/4)²+(y-1/2)²/(1/2)²=1
此方程为中心在(0,1/2)，长轴为1，短轴为1/2，交点在y轴的椭圆
动点P的轨迹方程为x²/(1/4)²+(y-1/2)²/(1/2)²=1

【另法】
P为AB中点，设A B 坐标为（X1,Y1）(X2,Y2)，
设L：Y=kx+1(斜率不存在时，P为原点)
则，X1方+Y1方/4=1
X2方+Y2方/4=1
相减得，（X1+X2）（X1-X2）+(Y1+Y2)(Y1-Y2)/4=0
化简得 k=-4X0/Y0 (x0 y0为P点坐标，K为L的斜率)
因为P在L上，所以 Y0=KX0+1
消去K得：Y0方+4X0方-Y0=0（即为P点轨迹）且K不存在时，P（0，0）也在轨迹上

(2).解：
P点轨迹的参数方程为：x=1/4cosθ，y=1/2+1/2sinθ
则|PN|²=(x-1/2)²+(y-1/2)²
=(1/4cosθ-1/2)²+(1/2sinθ)²
=1/16cos²θ+1/4-1/4cosθ+1/4-1/4cos²θ （此处利用了sin²θ=1-cos²θ）
=-3/16cos²θ-1/4cosθ+1/2
=-3/16(cos²θ+4/3cosθ)+1/2
=-3/16(cosθ+2/3)²+7/12
∵cosθ∈[-1,1]
则cosθ+2/3∈[-1/3,5/3]
则(cosθ+2/3)²∈[0,25/9]
则-3/16(cosθ+2/3)²∈[-25/48,0]
则-3/16(cosθ+2/3)²+7/12∈[1/16,7/12]
即|PN|²∈[1/16,7/12]
则|PN|∈[1/4,√21/6]
即|NP|的最大值为√21/6，最小值为1/4

Answer 2

设A(x1，y1) B(x2，y2) P(x，y)；
那么x1 x2=2x；y1 y2=2y；
于是
x1² y1²/4=1
x2² y2²/4=1
两式相减得到
(x1 x2)(x1-x2) (y1 y2)(y1-y2)/4=0；
于是有k=(y1-y2)/(x1-x2)=-4(x1 x2)/(y1 y2)=-4x/y；
另外直线过定点N(0,1)
k=(y-1)/x=-4x/y
所以P点轨迹方程就是y²-y 4x²=0
(y-1/2)² 4x²=1/4 (0,1)点在椭圆内部，就不讨论x，y 的范围了