Question

1/根号下1-x^2的原函数是什么?

Answer 1

1/根号下1-x^2的原函数是ln|(x+√（x²+1)|+C

令x=tanu , u∈（-π／2,π／2)

则dx=sec²udu

原函数＝∫1/secu *sec²udu

＝∫secudu

＝∫1/cosu du

＝∫cosu/cos²u du

＝∫d(sinu)/(1-sin²u)

=1/2∫d(sinu)

=1/2ln+C

=ln|(1+sinu)/cosu|+C

=ln|(1+x/√（x²+1))/(1/√（x²+1))|+C

=ln|(x+√（x²+1)|+C

原函数存在定理

若函数f(x)在某区间上连续，则f(x)在该区间内必存在原函数，这是一个充分而不必要条件，也称为“原函数存在定理”。

函数族F(x)+C(C为任一个常数）中的任一个函数一定是f(x)的原函数，故若函数f(x)有原函数，那么其原函数为无穷多个。