Question

关于排列组合的证明题

注 ：C（x，y） x为下标，y为上标
证明：C(m，m)+2C（m+1,m）+3C(m+2,m)+4C(m+3,m)+...+nC(m+n-1,m)=[(m+1)n+1]/(m+2)*C(m+n,m+1)

Answer 1

对n用数学归纳法：
n=1时：左=C(m,m)=1
右=[(m+1)+1]/(m+2)*C(m+1,m+1)=1=左
假设原命题对n成立，对n+1：
C(m，m)+2C（m+1,m）+3C(m+2,m)+4C(m+3,m)+...+nC(m+n-1,m)+(n+1)C(m+n,m)
= [(m+1)n+1]/(m+2)*C(m+n,m+1)+ (n+1)C(m+n,m)
=[(mn+n+1)*(m+n)!]/[(m+2)*(m+1)!(n-1)!]+ [(m+n)!*(n+1)]/[(n)!*(m)!]
={(m+n)!/[(m+2)!*n!]}*[(mn+n+1)*n+(m+2)*(m+1)*(n+1)]
对 (mn+n+1)*n+(m+2)*(m+1)*(n+1)因式分解：
(mn+n+1)*n+(m+2)*(m+1)*(n+1)
= (mn+n+1)*n+m*(m+1)*(n+1)+2(m+1)*(n+1)
=(mn+n+1)*n+(m+1)*n+(m+1)+(m+1)*(n+1)+m*(m+1)*(n+1)
=(mn+n+m+1+1)*n+(m+1)*(1+n+1+m*(n+1))
=((m+1)*(n+1)+1)*n+(m+1)*((m+1)*(n+1)+1)
=((m+1)*(n+1)+1)*(m+n+1)
所以：
原式=((m+1)*(n+1)+1)*(m+n+1)* {(m+n)!/[(m+2)!*n!]}
=[((m+1)*(n+1)+1)*(m+n+1)!]/[(m+2)!*n!]
=((m+1)*(n+1)+1)/(m+2)*C(m+n+1,m+1)
根据数学归纳法，该组合恒等式成立。