Question

【高中数学，求详细解答】已知函数f(x)=a/x+lnx(a>0).

Answer 1

(1)f'(x)=-a/x^2+1/x=(x-a)/x^2(x>0)
当0<a<e时
x∈(0,a)时,f'(x)<0,x∈(a,e]时,f'(x)>0
f(x)的单减区间是(0,a),单增区间是(a,e]；
当a≥e时
x∈(0,e)时,f'(x)<0
f(x)的单减区间是(0,e),无单增区间.
(2)g(x)=x^3-(a/2)x^2+x^2(-a/x^2+1/x)
即g(x)=x^3-(a/2)x^2+x-a (x>0)
g'(x)=3x^2-ax+1
g'(1/2)=(-1/2)a+7/4,g'(3)=-3a+13,Δ=a^2-12
得g(x)在(1/2,3)上存在极植的充要条件是
g'(1/2)g'(3)<0 或
g(1/2)>0且g'(3)>0且1/2<a/6<3且Δ>0
即((-1/2)a+7/4)(-3a+13)<0 或
(-1/2)a+7/4>0且-3a+13>0且1/2<a/6<3且a^2-12>0
解得 7/2<a<13/3 或2√3<a<7/2
所以a的取值范围是2√3<a<7/2或7/2<a<13/3

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