Question

正方形ABCD中，点M在边AB上，点N在边AD的延长线上，且BM=DN，点E为MN中点，

正方形ABCD中，点M在边AB上，点N在边AD的延长线上，且BM=DN，点E为MN中点，DE的延长线交于AC于点F，试猜想线段DE于AC的关系。
题已知改成DF于AC的关系，图中点G改为N。

Answer 1

连接CM、CN
BM=DN，BC=CD，∠CBM=∠CDG=90°
所以△CBM≌△CDN
所以CM=CN ∠BCM=∠DCN
90°=∠BCD=∠BCM+∠MCD=∠DCN+∠MCD=∠MCG
所以△MCN是等腰直角三角形
E是MN中点，所以CE⊥MN，CE/CM=1/√2
而∠ECF+∠ECD=∠DCF=45°，∠ECF+∠ACM=∠ECM=45°
所以∠DCE=∠ACM，而CE/CM=1/√2=CD/AC
所以△ACM∽△DCE
所以∠CDE=∠CAB=45°
所以∠CDE+∠DCF=45°+45°=90°
所以DF⊥AC

追问

有没有可以不用相似的方法

追答

可以这么做

证到△MCN是等腰直角三角形
E是MN中点，所以CE⊥MN，且CE=ME=NE
而E也是直角三角形MAN的斜边MN的中点，所以AE=EM=EN
所以AE=CE
又AD=CD，DE=DE
所以△ADE≌△CDE
所以∠CDE=∠ADE
而∠CDE+∠ADE=90°
所以∠CDE=∠ADE=45°
所以∠DFC=180°-(∠FCD+∠FDC)=180°-(45°+45°)=90°
所以DF⊥AC

Answer 2

线段DF垂直平分线段AC，且DF=1/2 AC 证明：过点M作MG∥AD，与DF的延长线相交于点G．
则∠EMG=∠N，∠BMG=∠BAD，
∵∠MEG=∠NED，ME=NE，
∴△MEG≌△NED，
∴MG=DN．
∵BM=DN，
∴MG=BM．
作GH⊥BC，垂足为H，连接AG、CG．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠BAD=∠B=∠ADC=90°，
∵∠GMB=∠B=∠GHB=90°，
∴四边形MBHG是矩形．
∵MG=MB，
∴四边形MBHG是正方形，
∴MG=GH=BH=MB，∠AMG=∠CHG=90°，
∴AM=CH，
∴△AMG≌△CHG．
∴GA=GC．
又∵DA=DC，
∴DG是线段AC的垂直平分线．
∵∠ADC=90°，DA=DC，
∴DF=1/2 AC
即线段DF垂直平分线段AC，且DF=1/2 AC．

Answer 3

垂直，建立直角坐标系解题。