Question

若实数X,Y满足X-Y+1小于等于0，X小于等于0，则X平方+Y平方的最小值是？

Answer 1

Y>=X+1,且x<=0
x^2+y^2最小值=|1-1+1|^2/(1^2+1^2)=1/2

追问

|1-1+1|^2/(1^2+1^2)？看不懂啊啊

追答

x^2+y^2就是点(x,y)到原点(0,0)的距离的平方
画出图形就知道点(x,y)到原点(0,0)的距离最小的点为(0,0)到直线Y=X+1的距离
直接用点到直线的距离公式就出来以上结果了
解这类题一定要数形结合才能最简便!

追问

亲~我算出来结果不对啊。（AXo＋BYo＋C）的绝对值除以根号下（A的平方加上B的平方）=1×0+（-1）×0+1除以根号下1的平方加上1的平方=二分之根号二？

追答

最小距离是二分之根号二
但是x^2+y^2是此值的平方,所以为1/2

纠正一下上面的"x^2+y^2最小值=|0-0+1|^2/(1^2+1^2)=1/2"

追问

为什么x^2+y^2是此值的平方~~！是不是X平方+Y平方=R平方可看做是圆的方程~所以X平方+Y平方的最小值是R平方。我很笨%>_<%

追答

点(x,y)到点(0,0)的距离d=√[(x-0)^2+(y-0)^2]=√(x^2+y^2)
所以x^2+y^2就是点(x,y)到点(0,0)的距离的平方
再看不懂就无药可救了!

Answer 2

因为 x-y+1≤0
x≤0
所以 x ≤y-1
y=1
设 z=x²+y² y=1
z=x²+1 用抛物线或推理法，当x=0时z最小为1

追问

最小值是1/2

Answer 3

x-y≤1
(x-y)^2≤1, y≥x-1
x^2-2xy+y^2≤1
x^2+y^2≥-(1+2xy)
x^2+y^2≥-(1+2(x-1)x)
x^2+y^2≥-(x-1)^2
x≤0
x^2+y^2≥-1

Answer 4

π/2
用线性规划图
区域内到原点距离最近的点即为所求点。