Question

已知正方体ABCD-A1B1C1D1，求证

(1)A1C垂直于C1D
(2)A1O垂直于平面BDG
(3)DI垂直于平面A1AH
(4)DI垂直于A1H

Answer 1

如图示

(1)

做线段 BA 的延长线，以 A1 为端点，做线段 B1A 的平行线，该平行线与线段 BA 的延长线相交于 A2

连接 A1 ，A2，C

由于ABCD-A1B1C1D1是正方体，由勾股定理可知

A1A2 = B1A = √2

A1C = √3

A2C= √5

∵ 在△A1A2C中，A2C² = A1A2² + A1C²

∴∠A2A1C = 90°

即A1C ⊥ A1A2

又∵ A1A2 ∥ B1A ∥ C1D

∴A1C ⊥ C1D 

(2)

连接A1，O，G

△A1OG 中

A1O = √ ( 3 / 2 )

GO = √ ( 3 / 4 )

A1G = 3 / 2

∵ 在△A1OG中，A1G² = A1O² + GO²

∴∠A1OG = 90°

即A1O ⊥ GO

又∵ GO 在平面BDG 中

∴A1O ⊥ 平面BDG 

(3)

∵ABCD-A1B1C1D1是正方体

∴A1A ⊥ 平面ABCD

DI在平面ABCD中，A1A在平面A1AH中

即 DI ⊥ 平面A1AH

(4)

由(3)可知

DI ⊥ 平面A1AH

∵A1H在平面A1AH中

∴DI ⊥ A1H