Question

直线与双曲线的交点问题有哪些？

Answer 1

双曲线与直线的交点问题有：如果只有一个交点，可能会出现三种情况。

第一种是该直线应该与该双曲线的渐近线平行。

第二种是直线的斜率不存在，且该直线过双曲线其中一支的顶点。

第三种是出现在由直线斜率和位置的双重条件制约下，直线和双曲线的一支交于一点，然后到了另一支的“地界”上离双曲线越来越远了。如果是两个交点，可能会出现这两种情况。

首先是直线斜率为0，平行与x轴，当然就只有两个交点了。还有一种情况就是斜率不为0，这时候就只能解判别式大于0的不等式，得到直线斜率的范围了。这两个交点，可能在双曲线的同一支上，也可能是两支上各有一个交点。

判断的方法

判断的方法是把直线方程代入到双曲线中得到了一个二次方程，用韦达定理计算。双曲线是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。它还可以定义为与两个固定的点的距离差是常数的点的轨迹。

从代数上说，双曲线是在笛卡尔平面上由如下方程定义的曲线使得。这里的所有系数都是实数，注意在笛卡尔坐标平面上两个互为倒数的变量的图像是双曲线。双曲线的图像无限接近渐近线，但永不相交。交点是线与线相交的点。