Question

三十度角所对直角边等于斜边的一半逆定理成立么

Answer 1

成立。
换句话说,在一个三角形中,只要30度角对的边等于另外某一边（这里记做C）的一半,那么该三角形必是直角三角形,且一定是C对的角等于直角

证明如下：已知，在Rt△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°．
求证：BC= 1/2 AB．

证明：

证法一：如答图所示，延长BC到D，使CD=BC，连接AD，易证AD=AB，∠BAD=60°．
∴△ABD为等边三角形，
∴AB=BD，
∴BC=CD=1/2 AB，即BC=1/2 AB

证法二：如答图所示，取AB的中点D，
连接DC，有CD=1/2 AB=AD=DB，

∴∠DCA=∠A=30°，∠BDC=∠DCA+∠A=60°．
∴△DBC为等边三角形，
∴BC=DB=1/2 AB，即BC=1/2 AB

证法三：如答图所示，在AB上取一点D，使BD=BC，
∵∠B=60°，
∴△BDC为等边三角形，
∴∠DCB=60°，∠ACD=90°-∠DCB=90°-60°=30°=∠A．
∴DC=DA，即有BC=BD=DA=1/2 AB

∴BC=1/2 AB

证法四：如图所示，作△ABC的外接圆⊙D，∠C=90°，AB为⊙O的直径，
连DC有DB=DC，∠BDC=2∠A=2×30°=60°，
∴△DBC为等边三角形，
∴BC=DB=DA=1/2 AB，即BC=1/2 AB

Answer 2

【在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半逆命题】

【等于斜边长一半的直角边所对的角为30°】

设在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=1/2BC，求证：∠ACB=30°

【证法1】

延长BA到D，使AD=AB，连接CD。

∵∠BAC=90°，AB=AD，

∴AC垂直平分BD，

∴BC=CD（垂直平分线上的点到线段两端距离相等），

∵AB=1/2BC，

  AB=AD=1/2BD

∴BD=BC，

∴BD=BC=CD，

∴△ABC是等边三角形，

∴∠B=60°，

∴∠ACB=90°-∠B=30°。

【证法2】

取BC的中点D，连接AD。

∵∠BAC=90°，

∴AD=1/2BC=BD（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），

∵AB=1/2BC，

∴AB=AD=BD，

∴△ABD是等边三角形，

∴∠B=60°，

∴∠ACB=90°-∠B=30°。

Answer 3

成立。

如题，题中的定理完整版为：直角三角形中，三十度所对直角边是斜边的一半。那么，逆定理为直角三角形中，所对直角边是斜边一半的角是三十度角。

设在RT△ABC中，∠A=90°，AB=1/2BC,求证∠C=30°。

证明：取BC的中点D,连接AD.

∵直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半

∴AD=1/2BC=AB=BD,

∴△ABD为等边三角形，

∴∠B=60°，

∴∠C=90°-∠B=30°。

得证。

Answer 4

成立，因为由sinx=1/2, 在直角三角形中也是得到x=30度